全面解析树结构与算法-优快云博客

各种树结构

满二叉树

　　满二叉树是每一层上的所有结点数都达到最大值的二叉树。深度为m的满二叉树有2^m-1个结点

完全二叉树

　　完全二叉树除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。完全二叉树来说的叶子结点只可能在层次最大的两层上出现，对于任何一个结点，若其右分支下的子孙结点的最大层次为p，则其左分支下的子孙结点的最大层次为p或p+1。满二叉树也是完全二叉树，而完全二叉树一般不是满二叉树。

　　完全二叉树也称为近似满二叉树。

二叉查找树

　　二叉查找树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

　　（1）若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

　　（2）若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

　　（3）它的左、右子树也分别为二叉查找树。

　　二叉查找树也称为二叉排序树、二叉搜索树。

平衡二叉树

　　平衡二叉树或者是一棵空树，或者树的左子树和右子树的深度之差不超过1且左右子树皆为平衡二叉树时。

AVL树

　　自平衡二叉查找树是当二叉查找树插入或删除任意结点时，二叉查找树是一颗平衡二叉树。AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树，AVL树得名于它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。

红黑树

　　红黑树是一种自平衡二叉查找树。它是在1972年由鲁道夫·贝尔发明的，他称之为"对称二叉B树"，它现代的名字是在 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 于1978年写的一篇论文中获得的。

伸展树

　　伸展树（Splay Tree）是一种二叉排序树。为使查找时间更少，被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。伸展树是一种自调整形式的二叉查找树，在每次查找之后对树进行重构，沿着某个节点到树根之间的路径，通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。

　　相比于红黑树，AVL树等，伸展树的空间要求与编程复杂度要小得多。

SBT（Size Balanced Tree，节点大小平衡树）

　　节点大小平衡树是一种自平衡二叉查找树。对于每一个结点t，我们使用left[t]和right[t]来储存它两个儿子的指针，s[t]表示以t为根的子树的大小（Size），维持它成为这棵树上结点的个数。每一个在SBT中的结点t，保证：

　　（1）s[right[t]] >= s[left[left[t]]], s[right[t]] >= s[right[left[t]]]；

　　（2）s[left[t]] >= s[right[right[t]]], s[left[t]] >= s[left[right[t]]]。

　　在上图例中：s[A] <= s[R]，s[B] <= s[R]，s[C] <= s[L]，s[D] <= s[L]。

　　广东纪念中学的陈启峰于2006年底完成论文《Size Balanced Tree》，并在2007年的全国青少年信息学奥林匹克竞赛冬令营中发表。它常被中国的信息学竞赛选手和ACM/ICPC选手们戏称为“傻B树”、“Super BT”等。相比红黑树、AVL树等自平衡二叉查找树，SBT更易于实现。

线段树（Segment Tree）

　　线段树是一种二叉搜索树，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a, (a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2, b]。线段树是满二叉树。线段树类似于区间树（Interval Tree）。

Fibonacci树

　　n阶Fibonacci树的每个节点的左子树和右子树分别为n-2和n-1阶的Fibonacci树，0阶Fibonacci树为空。

　　一种Fibonacci树的构造方法：

procedure FibonacciTree(d:integer; Var T:binarytree) 
{ //d是 Fibonacci树的深度 
    if  d=0   
　　　　then  T := nil 
    else{ 
        new(T); 
        if  d=1   
　　　　　　then  { T^.leftptr:=nil; T^.rightptr:=nil } 
        else{// d>;=2 
            FibonacciTree(d – 2, T^.leftptr); 
　　　　　　FibonacciTree(d – 1, T^.rightptr); 
　　　　} 
　　} 
} 