B - Matrix Power Series

最新推荐文章于 2020-01-21 15:40:01 发布

philophobia

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分类专栏：周赛3

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/philophobia/article/details/77194132

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂解决特定矩阵求和问题的方法。针对一个n*n的矩阵A和一个正整数k，文章详细阐述了如何通过递归思想高效地计算S=A+A²+A³+...+Ak，并提供了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A2 + A3 + … + Ak.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 109) and m (m < 104). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

Sample Input

2 2 4
0 1
1 1

Sample Output

1 2
2 3

题意：已知一个n*n的矩阵A，和一个正整数k，求S = A + A2 + A3 + … + Ak。

思路：矩阵快速幂。首先我们知道 A^x 可以用矩阵快速幂求出来（具体可见poj 3070）。其次可以对k进行二分，每次将规模减半，分k为奇偶两种情况，如当k = 6和k = 7时有：
k = 10 有： S(9) = ( A^1+A^2+A^3+A^4+ A^5 ) + A^5 * ( A^1+A^2+A^3+A^4+A^5 ) = S(5) + A^5 * S(5)
k = 5 有： S(5) = ( A^1+A^2 ) + A^3 + A^3 * ( A^1+A^2 ) = S(2) + A^3 + A^3 * S(2)
　 k = 2 有 : S(2) = A^1 + A^2 = S(1) + A^1 * S(1)
从上面几个式子可以发现，当k为奇数或者偶数的区别，具体见代码中的solve函数。（solve函数的功能：递推到底层，也就是到 k = 1时回退，最后一步一步求出，弄懂递推的思想，这题也就明白了），当然定义成数组，然后再进行一些预处理，效率会更高些。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,k,mod;
struct matrix{
    int arr[40][40];
};
matrix unit,init;

matrix mul(matrix a,matrix b){
    matrix c;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            c.arr[i][j]=0;
            for(int k=0;k<n;k++)
                c.arr[i][j]=(c.arr[i][j]+a.arr[i][k]*b.arr[k][j]%mod)%mod;
            c.arr[i][j]%=mod;
        }
    }
    return c;
}
matrix pow(matrix a,matrix b,int x){
    while(x){
        if(x&1){
            b=mul(b,a);
        }
        a=mul(a,a);
        x>>=1;
    }
    return b;
}
matrix add(matrix a,matrix b){
    matrix c;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            c.arr[i][j]=(a.arr[i][j]+b.arr[i][j])%mod;
        }
    }
    return c;
}
matrix solve(int x){
    if(x==1)
        return init;
    matrix res=solve(x/2),cur;
    if(x&1){
        cur=pow(init,unit,x/2+1);
        res=add(res,mul(cur,res));
        res=add(res,cur);
    }
    else{
        cur=pow(init,unit,x/2);
        res=add(res,mul(cur,res));
    }
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&mod);
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            scanf("%d",&init.arr[i][j]);
            unit.arr[i][j]=(i==j?1:0);
        }
    }
    matrix res=solve(k);
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n-1;j++)
            printf("%d ",res.arr[i][j]);
        printf("%d\n",res.arr[i][n-1]);
    }
    return 0;
}