5197. 【NOIP2017提高组模拟7.3】C (Standard IO)

最新推荐文章于 2018-10-20 15:10:00 发布

原创最新推荐文章于 2018-10-20 15:10:00 发布 · 241 阅读

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本文探讨了在给定正整数n的范围内，寻找满足特定条件的无序数对(a,b)的方法。通过设定a>b且gcd(a,b)=a xor b，采用枚举策略并利用数学性质简化问题，实现时间复杂度为O(n log n)的有效解决方案。

Description

给定一个正整数，在[1,n]的范围内，求出有多少个无序数对(a,b)满足gcd(a,b)=a xor b。

Input

输入共一行，一个正整数n。

Output

输出共一行，一个正整数表示答案。

Solution

因为? = ?时肯定无解，我们不妨设? > ?。

那么有gcd(?, ?) ≤ ? − ?, ? ??? ? ≥ ? − ?，很明显有? = ? − ?。

我们依然枚举?, ? = ? ∗ ?，因为gcd(?, ? − ?) = ?，

所以我们只需判断? ??? ? = ? − ?即可，时间O(? log ?)。

代码

 1 var
 2   n,ans:longint;
 3 procedure main;
 4 var
 5   i,j,k:longint;
 6 begin
 7   ans:=0; i:=1;
 8   while i<n do
 9     begin
10       k:=n div i;
11       for j:=2 to k do
12         if (i*j) xor i=i*(j-1) then
13           inc(ans);
14       inc(i);
15     end;
16 end;
17 
18 begin
19   readln(n);
20   main;
21   writeln(ans);
22 end.