5195. 【NOIP2017提高组模拟7.3】A (Standard IO)_n个相同的弹珠,k个相同的盒子。现在随机的将每个弹珠扔进盒子中,使得最终每个盒子-优快云博客

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本文探讨了n个相同弹珠分配到k个相同盒子中的所有可能方案，要求每个盒子至少有一个弹珠。提供了两种高效算法实现，包括递归公式及规律发现的方法，并给出具体代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

我们有n个相同的弹珠，k个相同的盒子。现在随机的将每个弹珠扔进盒子中，使得最终每个盒子非空，求出一共有多少种不同的方案。两种方案不同当且仅当将盒子中的弹珠数最小表示后不同。由于方案数可能非常多，出题人又良心的不让你们写高精度，把答案摸998244353输出即可。

Input

第一行输入两个正整数n，k。

Output

输出共一行，一个整数表示Ans mod 998244353的值

Solution

以下皆为100分方法，皆可AC。

方法一：

类似第二类????????数的，我们将方案分成两种：

1.至少包含一个 1 的；

2.一个 1 都不包含。

设?[?][?]表示答案，那么表示1.的答案即为?[? − 1][? − 1]，

表示2.的答案即为?[? − ?][?](相当于把每个数都加上1)，

所以有： ?[?][?] = ?[? − 1][? − 1] + ?[? − ?][?]，时间O(??)。

方法二：

如图：

可找到规律,设n=0，k=1是结果为1，

则第n行第k列=第(n-k)行第一列到第k列的和。

代码

方法一：

 1 const
 2   mo=998244353;
 3 var
 4   n,k:longint;
 5   f:array [0..5001,0..5001] of longint;
 6 function min(o,p:longint):longint;
 7 begin
 8   if o<p then exit(o);
 9   exit(p);
10 end;
11 
12 procedure main;
13 var
14   i,j:longint;
15 begin
16   f[0,0]:=1;
17   for i:=1 to n do
18     for j:=1 to min(i,k) do
19       f[i,j]:=(f[i-1,j-1]+f[i-j,j]) mod mo;
20 end;
21 
22 begin
23   readln(n,k);
24   main;
25   writeln(f[n,k]);
26 end.

方法二：

const
  mo=998244353;
var
  n,k:longint;
  sum:array [0..5001] of longint;
  f:array [0..5001,0..5001] of longint;
procedure main;
var
  i,j:longint;
begin
  for i:=0 to 5000 do
    begin
      f[i,1]:=1; sum[i]:=1;
    end;
  for i:=2 to 5000 do
    begin
      for j:=i to 5000 do
        f[j,i]:=(sum[j-i]+f[j-i,i]) mod mo;
      for j:=i to 5000 do
        sum[j]:=(sum[j]+f[j,i]) mod mo;
    end;
end;

begin
  readln(n,k);
  main;
  writeln(f[n,k]);
end.