JZOJ_1322. 硬币游戏 (Standard IO)

最新推荐文章于 2021-09-18 18:54:14 发布

原创最新推荐文章于 2021-09-18 18:54:14 发布 · 223 阅读

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本文介绍了一种硬币游戏，玩家需制定策略以最大化所获硬币价值。游戏涉及动态规划算法，通过递推公式计算最优解，确保在有限硬币堆中取得优势。

Description

　　FJ的奶牛喜欢玩硬币游戏，所以FJ发明了一个新的硬币游戏。一开始有N（5<=N<=2,000）个硬币堆成一叠，从上往下数第i个硬币有一个整数值C_i（1<=C_i<=100,000）。
　　两个玩家轮流从上倒下取硬币，玩家1先取，可以从上面取1个或2个硬币，下一轮的玩家可以取的硬币数量最少为1个，最多为上一个玩家取的数量的2倍，硬币全部取完比赛结束。
　　已知玩家2绝顶聪明，会采用最优策略，现在请你帮助玩家1，使得玩家1取得的硬币值的和最大。

Input

　　第一行输入N
　　第二至N+1行每行输入一个整数C_i

Output

　　输出玩家1能获得的最大值。

Solution

F_i,j,i表示的是我现在的位置(还剩多少枚硬币),取到第几个,j是对方上一次对方拿走了多少个。

下一次对手就可以取走2*j枚硬币,我们设他要拿走k枚硬币,那么k的取值范围就在1<k<=2∗j。

f_i,j=max(sum_i+1..k−f_k,k−i(1<=k<=2∗j))

f_i,j+1=max(sum_i+1..k−f_k,k−i(1<=k<=2*(j+1)))

J就只有在这个地方发生了改变(手指上方S)

(1<=k<=2∗j) 和 (1<=k<=2*(j+1)) 可以变为 2*j<=k<=2*(j+1)

F_i,j=max(F_i,j−1,Sum_i+1..k−F_k,k−i(2∗(j−1)<k<=2∗j))

F_i,j;=max(F_i,j-1,Sum_i+1..k-F_k,k-i) (2j+1<=k<=2j+2) (Sum为前缀和)

Maxn;=max(Maxn,Sum[k]-Sum[i]-F[k,k-i])

答案即为 (sum[n]+max(num[1]-f[1,1],num[1]+num[2]-f[2,2])) div 2

因为一开始可以选1或者2

复杂度;O(n²) (2算是常数)

代码

 1 var
 2   n:longint;
 3   a,sum:array [0..2001] of longint;
 4   f:array [0..2001,0..2001] of longint;
 5 procedure init;
 6 var
 7   i:longint;
 8 begin
 9   readln(n);
10   sum[0]:=0;
11   for i:=1 to n do
12     begin
13       readln(a[i]);
14       sum[i]:=sum[i-1]+a[i];
15     end;
16 end;
17 
18 function min(o,p:longint):longint;
19 begin
20   if o<p then exit(o);
21   exit(p);
22 end;
23 
24 function max(o,p:longint):longint;
25 begin
26   if o>p then exit(o);
27   exit(p);
28 end;
29 
30 procedure main;
31 var
32   i,j,k,maxx:longint;
33 begin
34   for i:=n-1 downto 1 do
35     begin
36       maxx:=-maxlongint;
37       for j:=1 to i do
38         begin
39           for k:=min(i+2*j-2,n)+1 to min(i+2*j,n) do
40             maxx:=max(maxx,sum[k]-sum[i]-f[k,k-i]);
41           f[i,j]:=maxx;
42         end;
43     end;
44   writeln((sum[n]+max(a[1]-f[1,1],a[1]+a[2]-f[2,2])) div 2);
45 end;
46 
47 begin
48   init;
49   if n=1 then writeln(a[1])
50          else main;
51 end.