JZOJ1322. 硬币游戏

Description

　　FJ的奶牛喜欢玩硬币游戏，所以FJ发明了一个新的硬币游戏。一开始有N（5<=N<=2,000）个硬币堆成一叠，从上往下数第i个硬币有一个整数值C_i（1<=C_i<=100,000）。
　　两个玩家轮流从上倒下取硬币，玩家1先取，可以从上面取1个或2个硬币，下一轮的玩家可以取的硬币数量最少为1个，最多为上一个玩家取的数量的2倍，硬币全部取完比赛结束。
　　已知玩家2绝顶聪明，会采用最优策略，现在请你帮助玩家1，使得玩家1取得的硬币值的和最大。

分析

第一眼看下去感觉就是博弈，
没想到正解竟然是DP。
下次见到博弈的题目也应该要往DP方面想一想。
我们知道影响答案的因素只有两个：当前取到第几个硬币、上一次取了多少。
我们设$f_{i,j}$表示取到第i位，上一次取了j个，先手的最优答案。
转移：考虑这一次要取多少个，枚举一个$k (1≤k≤2*j)$
先手肯定可以得到i~i+k-1这一区间的硬币。
在他取了这k个以后，就变为了对手为先手，取到第i+k位，上一次取了k。
对手也是用最优策略，所以他可以得到的硬币值为$f_{i+k,k}$
也就是说，留给我们的硬币值就为这一段区间的和减去$f_{i+k,k}$

但是，状态是$n^2$，转移是n的，总的复杂度是$n^3$
不过我们发现，在每次枚举k的时候只有最后两个是有意义的，
所以转移可以优化到O(1)，总的复杂度就是$O(n^2)$了

将硬币值倒过来做会方便一些。

code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string.h>
#include <cmath>
#include <math.h>
#define N 2003
using namespace std;
int n,a[N],f[N][N],sum[N];
char ch;
void read(int &n)
{
    n=0;
    ch=getchar();
    while((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-')ch=getchar();
    int w=1;
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    while('0'<=ch && ch<='9')n=n*10+ch-'0',ch=getchar();
    n*=w;
}
int main()
{
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        read(a[n-i+1]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            f[i][j]=f[i][j-1];
            if(i>=2*j-1)f[i][j]=max(f[i][j],sum[i]-f[i-2*j+1][2*j-1]);
            if(i>=2*j)f[i][j]=max(f[i][j],sum[i]-f[i-2*j][2*j]);
        }
    printf("%d",f[n][1]);
}