4390. 【GDOI2016模拟3.16】图计数 (Standard IO)

最新推荐文章于 2021-07-19 11:19:15 发布

原创最新推荐文章于 2021-07-19 11:19:15 发布 · 175 阅读

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本文介绍了一种解决完全背包问题的方法，特别关注了当物品数量与背包容量存在特定比例时的优化策略。通过将物品分为重量小于和大于O(√n)两组进行独立处理，并利用动态规划求解。

Description

Input

Output

Solutions

题目一开始觉得简单，后来讨论才发现我连题都读错了啊！！！

实际上这就是一个完全背包问题，大小为n，物品为1,2,......,n重量小于O(√n)的物品只有O(√n)种，

重量大于O(√n)的物品每种只会用O(√n)个分这两种情况分别考虑，最后合并答案。

前O(√n)个小物品只需套用普通的完全背包求解即可

后面的大物品考虑下面这种动态规划：

设f[i][j]表示i个物品重量和为j的方案数，

那么f[i][j]=f[i-1][j−K]+f[i][j−i]，

这个式子第一项表示在后面新增了一个重量为K的物品，第二项表示把所有物品的重量新增1，

因为用的物品最多不会超过O(√n)个，所以状态数不超过O(n√n)，两种DP时间都不会超过O(n√n)

这题用c++写的选手有优势，pascal的选手不优化可能会TLE

代码

 1 var
 2   n,m,nm,p:longint;
 3   ans:int64;
 4   f,sum:array [0..200001] of int64;
 5   dp:array [0..1,0..200001] of int64;
 6 procedure dp2;
 7 var
 8   i,j,kk:longint;
 9 begin
10   dp[0,0]:=1; sum[0]:=1; kk:=1; f[0]:=1;
11   for i:=1 to nm do
12     begin
13       fillchar(dp[kk],sizeof(dp[kk]),0);
14       for j:=1 to n do
15         begin
16           if j-nm-1>=0 then dp[kk,j]:=dp[kk,j]+dp[kk xor 1,j-nm-1];
17           if j-i>=0 then
18             begin
19               dp[kk,j]:=dp[kk,j]+dp[kk,j-i];
20               f[j]:=f[j]+f[j-i];
21             end;
22           sum[j]:=sum[j]+dp[kk,j];
23           if (dp[kk,j]>2000000000) then dp[kk,j]:=dp[kk,j] mod p;
24           if (sum[j]>2000000000) then sum[j]:=sum[j] mod p;
25           if (f[j]>2000000000) then f[j]:=f[j] mod p;
26         end;
27       kk:=kk xor 1;
28     end;
29 end;
30 
31 function mi(a,b:int64):int64;
32 var
33   c:int64;
34 begin
35   if b=1 then exit(a);
36   c:=mi(a,b div 2);
37   c:=(c*c) mod p;
38   if b mod 2=1 then c:=(c*a) mod p;
39   exit(c);
40 end;
41 
42 procedure main;
43 var
44   i:longint;
45 begin
46   ans:=0;
47   for i:=0 to n do
48     ans:=(ans+(f[i]*sum[n-i]) mod p) mod p;
49   p:=p+1;
50   writeln(mi(m,ans));
51 end;
52 
53 begin
54   readln(n,m);
55   nm:=trunc(sqrt(n))+1;
56   p:=999999598;
57   dp2;
58   main;
59 end.