71、缩放一致性、二分一致性和缩放二分一致性的研究

缩放一致性、二分一致性和缩放二分一致性的研究

1. 图的基本概念

1.1 无向图

在多智能体系统中，无向图 (G(A)) 由节点集 (V = {v_i : i \in I_n})、边集 (E \subseteq {(v_i, v_j) : v_i, v_j \in V}) 和邻接矩阵 (A = [a_{ij}] \geq 0) 组成。其中，(a_{ij} > 0) 当且仅当 ((v_j, v_i) \in E)，否则 (a_{ij} = 0)。同时，假设图 (G) 中不存在自环，即 ((v_i, v_i) \notin E) 且 (a_{ii} = 0)，(\forall i \in I_n)。若 ((v_j, v_i) \in E)，则称 (v_j) 是 (v_i) 的邻居，(v_i) 的邻居标签集记为 (N_i = {j : (v_j, v_i) \in E})。对于一些不同的节点 (v_{i_0}, v_{i_1}, \cdots, v_{i_l})，若存在由 (l) 条边组成的序列 ((v_{i_k}, v_{i_{k + 1}}) \in E)（(k = 0, 1, \cdots, l - 1)），则称该序列为图 (G) 的一条路径。若至少存在一个节点可以通过路径连接到所有其他节点，则称图 (G) 是准强连通的或具有生成树。

1.2 有向符号图

涉及智能体之间合作和对抗交互的多智能体系统通常存在有向符号图。有向符号图也由三元组 (G = (V, E, A)) 表示，其中 (V) 和 (E) 与无向图 (G(A)) 相同，但邻接矩阵 (A = [a_{ij}] \in R^{n \times n}) 不再是非负矩阵。对于有向符号图 (G(