10、数学中的变换与代数结构：从扩张器到仿射平面的深入探索

数学中的变换与代数结构：从扩张器到仿射平面的深入探索

在数学领域，各种变换和代数结构的研究对于理解空间和运动的本质至关重要。本文将深入探讨扩张器、二维射影几何、球面和仿射平面等概念，以及一般线性代数和相关的正交群，为读者呈现一个丰富而严谨的数学世界。

1. 扩张器（Dilator）

在处理扩张器时，由于 (e_i \wedge e_i = 0)，我们使用 (e_i \wedge \overline{e} i) 这种二向量形式。相关表格如下：
[
L {D_{a_{ii},s_i}} =
\begin{bmatrix}
O &
\begin{bmatrix}
-1/0, \mp1 & 0 & 0 \
0 & -1/0, \mp1 & 0 \
0 & 0 & -1/0, \mp1
\end{bmatrix} &
\begin{bmatrix}
1/0, \pm1 & 0 & 0 \
0 & 1/0, \pm1 & 0 \
0 & 0 & 1/0, \pm1
\end{bmatrix} &
O
\end{bmatrix}
]
扩张变换的旋量（versor），即扩张器，可以通过两种方式计算。一种是使用方程 (3.168) 中的二向量 (e_i \overline{e}_j)，另一种是使用方程 (3.169) 中的二向量 (\overline{w}_i \wedge w_j)，得到：