5、几何代数中的多向量积与相关运算

几何代数中的多向量积与相关运算

1. 几何代数基础

在几何代数中，有一些基础的运算规则和概念。首先，对于向量 (e_k)，有 (e_ke_k = e_k \cdot e_k = n)，这里的 (n) 对应空间的维度。接着计算楔积 (e_ke_k \wedge X_p = e_k(e_kX_p - e_k \cdot X_p) = (n - p)X_p)，综合这些结果可得 (e_kX_pe_k = (-1)^pe_k(e_k \wedge X_p - e_k \cdot X_p) = (-1)^p(n - 2p)X_p)。

为了更方便地建立不同几何实体（如点、线、面、球等）之间的几何关系（如并集、交集、投影等），我们定义了一些新的乘积运算。

1.1 内积和外积

对于任意两个 1 - 向量 (a, b \in G_n)，几何积 (ab) 可以分解为对称部分和反对称部分，即 (ab = \frac{1}{2}(ab + ba) + \frac{1}{2}(ab - ba))。基于此，我们定义内积 (a \cdot b \equiv \frac{1}{2}(ab + ba))，外积（楔积） (a \wedge b \equiv \frac{1}{2}(ab - ba))。所以，两个向量的几何积可以表示为 (ab = a \cdot b + a \wedge b)。从定义可知，内积满足交换律 (a \cdot b = b \cdot a)，而外积满足反交换律 (a \wedge b = -b \wedge a)。

内积对应标准的标量积或点积，结果是一个标量。外积则产生一个新的量，称为二向量。我们可以把二向量看作是在包含 (a) 和 (b) 的平面