16、多维缩放与分类方法详解

多维缩放与分类方法详解

1. 引言

在数据分析中，我们常常需要处理各种类型的数据，包括定量数据和定性数据。对于不同类型的数据，我们需要采用不同的分析方法。多维缩放（Multidimensional Scaling, MDS）是一种用于处理距离矩阵的技术，它可以将距离矩阵转换为一组坐标，以便更好地理解数据之间的关系。而分类则是一种用于预测定性响应的技术，它可以将数据分为不同的类别或类。本文将详细介绍多维缩放和分类的相关方法，包括度量多维缩放（Metric Multidimensional Scaling, MMDS）、非度量多维缩放（Nonmetric Multidimensional Scaling, NMMDS）、逻辑回归（Logistic Regression）和线性判别分析（Linear Discriminant Analysis）。

2. 邻近性度量

邻近性度量用于描述对象之间的相似性或不相似性。不相似性（(d_{ij})）表示两个对象之间的距离，而相似性（(s_{ij})）表示两个对象在某种意义上的接近程度。通常，相似性的值在 0 到 1 之间，值越大表示相似性越高，(s_{ij} = 1) 表示最大相似性。不相似性的值通常大于等于 0，值越小表示不相似性越低，(d_{ij} = 0) 表示最小不相似性。

相似性和不相似性可以相互转换。相似性可以通过以下公式转换为不相似性：
[d_{ij} = \sqrt{s_{ii} + s_{jj} - 2s_{ij}}]

不相似性也可以通过一个递减函数转换为相似性，例如：
[s = h(d) = 1 - e^{-d}]
或
[s = \frac{d