14、图论基础及相关算法详解

图论基础及相关算法详解

1. 图的基本概念

1.1 简单图

简单图是一个二元组 (G = (V, E))，其中 (V) 是有限的顶点集，(E) 是有限的边集，且 (E) 中的每个元素都是 (V) 的一个二元子集。例如，一个简单图 (G)，其顶点集 (V = {a, b, c, d})，边集 (E = {ab, ac, ad, bd, cd})，这个图有 4 个顶点和 5 条边。简单图的定义排除了环（loop）和多重边（multiple edges）的存在，因为边是二元集，环只涉及一个顶点，且集合不允许重复元素。

1.2 图的术语

• 子图 ：若 (G = (V, E)) 是一个图，(G_c = (V_c, E_c)) 且 (V_c \subseteq V)，(E_c \subseteq E)，则 (G_c) 是 (G) 的子图。若 (V_c = V)，则 (G_c) 是 (G) 的生成子图（spanning subgraph）。
• 顶点的度 ：一个顶点的度（degree）是指与该顶点相关联的边的数量。例如，在上述图中，顶点 (a) 的度为 3，顶点 (b) 的度为 2。
• 完全图 ：完全图是一种简单图，其中任意两个顶点之间都有一条边相连。对于 (n) 个顶点的完全图，其边的数量为 (n(n - 1)/2)。例如，4 个顶点的完全图，边数为 (4(4 - 1)/2 = 6)。

1.3 路径和循环

• 路径