8、矩形覆盖与平均值比较的计算研究

矩形覆盖与平均值比较的计算研究

矩形覆盖相关内容

在矩形覆盖问题的研究中，有诸多值得探讨的方面。

像素特性与伪稳定集

在准贪心算法的修剪步骤之后，覆盖中的每个矩形都包含一个私有像素。这个像素是成为伪稳定集像素的直观候选者，该集合理论上可以为整个覆盖“买单”。不过，目前还不清楚同一个矩形中能包含该集合的多少个像素。

边界覆盖的应用

存在一种简单的 4 - 近似算法用于覆盖正交多边形的边界。但一个自然的问题是：是否总能找到一个内部覆盖，其大小能由最优边界覆盖大小 $\theta_{boundary}$ 的常数倍所界定呢？答案是否定的。有反例表明，多边形边界可以用 $O(\sqrt{n})$ 的覆盖，但最优内部覆盖却需要 $\Theta(n)$ 个矩形。不过，这一观察其实很有启发性，我们猜想可以找到一个大小小于 $c_1 \cdot \theta_{boundary} + c_2 \cdot \alpha$ 的内部覆盖，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是合适的常数，若如此，将意味着矩形覆盖问题存在常数因子近似算法。

准素矩形与破洞操作

对于一类多边形（如典型寡核苷酸掩膜产生的多边形），在准贪心算法的前两步之后就能找到最优覆盖，此时覆盖仅由素矩形和准素矩形组成，但一般情况并非如此。考虑第二步后未覆盖的像素集 $U$，可以证明图 $G$ 中存在一个诱导循环（洞），其顶点对应于 $U$ 的一个子集。覆盖这个洞的每隔一条边可以扩展之前的部分覆盖，我们称之为“破洞”。一个直接的算法是：在多边形未被完全覆盖时，迭代地选择最大的准素矩形集，然后找到一个洞并破洞，同时也可以迭代地扩展部分伪稳定集。准素矩形由准