63、电路分析方法详解

电路分析方法详解

1. 节点分析与算子方程

在电路分析中，节点分析是一种常用的方法。通过节点分析，我们可以得到一个微分方程。例如，经过交叉相乘等操作，我们能得到形如以下的方程：
[
\begin{align }
\frac{d^2v_s(t)}{dt^2}+7\frac{dv_s(t)}{dt}+10v_s(t)&=\frac{d^2i_s(t)}{dt^2}+6\frac{di_s(t)}{dt}+6i_s(t)+24\
\end{align }
]
同时，我们也可以将相关式子直接解释为解算子方程。通过对分母进行因式分解和部分分式展开，能够将二阶算子用一阶算子表示。一阶算子具有简单的形式，如((p + a)x(t)=e^{-at}p[e^{at}x(t)]) 。由此，我们可以快速得出一阶算子的冲激响应(h(t)=\frac{1}{p + a}\delta(t)=e^{-at}u(t))和阶跃响应(s(t)=\frac{1}{p + a}[u(t)]=(1 - e^{-at})u(t))。

2. 网孔分析

2.1 网孔的定义与数量计算

网孔是平面电路中一种特殊的回路，它内部不包含其他回路。一个电路中网孔的数量可以通过公式(N_m = B - N + 1)计算，其中(B)是支路（元件）的数量，(N)是节点的数量。例如，对于一个简单的电路，我们可以通过逐步添加元件来验证这个公式。当我们构建电路时，最初没有网孔，随着元件的添加和连接方式的改变，网孔逐渐形成，公式始终成立。

2.2 网孔电流的定义与特性

我们定义了一组虚构的网孔