31、傅里叶变换、卷积与希尔伯特空间基的深入解析

傅里叶变换、卷积与希尔伯特空间基的深入解析

1. 傅里叶变换相关内容

• L2 傅里叶变换
  • 对于某些信号，其 L2 傅里叶变换（L2 - FT）存在特定性质。例如，若信号同时满足某些条件，其 FT 为 (X(\omega) = \frac{2\sin\omega}{\omega})，该结果属于 (L2) 但不属于 (L1)。并且 (X(\omega)) 的逆 L2 - FT 就是原始信号 (x(t))。
  • 若 (x(\omega) \in L2) 且 (x(\omega) \in L1)，则勒贝格积分 (\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)e^{j\omega t}d\omega / 2\pi) 存在，且几乎处处等于 (x(t))。
  • 帕塞瓦尔关系成立，即 (|x(t)|^2 = |X(\omega)|^2)。这表明 L2 - FT 是从 (L2) 到 (L2) 的线性变换，除比例因子外保持范数不变，是一种等距变换。
  • 与 L1 - FT 不同，L2 - FT (X(\omega)) 不一定连续，如理想低通滤波器的冲激响应（sinc 函数）属于 (L2)，但其 FT 不连续。
  • 若 ({f_n(t)}) 是 (L2) 中的序列，且 (x(t) = \sum_{n} c_n f_n(t)) 是收敛求和（在 (L2) 意义下），则 (X(\omega) = \sum_{n} c_n F_n(\omega))。这一结果对于有限求和因 FT 的线性性显然成立，对于无限求和，由于 L2 - FT 是从 (L2) 到 (