51、加权点集的跨度图与动态设施选址问题解析

加权点集的跨度图与动态设施选址问题解析

加权点集的跨度图相关内容

在处理加权点集时，有一些重要的定理和算法值得关注。

定理2

设 $D$ 是由 $n$ 个不相交的圆盘组成的集合，那么 $Del(D)$ 是 $D$ 的一个 $t$ - 跨度图，其中 $t$ 是点集的Delaunay三角剖分的跨度比。

证明思路 ：
- 依据引理3，设 $R$ 是一个大小至多为 $2\lfloor\frac{n}{3}\rfloor$ 的集合，它代表 $D$；设 $S$ 是 $D$ 的距离点集，令 $P = R \cup S$。
- 因为 $Del(P)$ 是 $P$ 的一个 $t$ - 跨度图，根据引理2，可得 $Del(P)/D$ 是 $K(P)/D$ 的一个 $t$ - 跨度图，这里 $K(P)$ 是以 $P$ 为顶点集的完全图。
- 由于 $P$ 包含 $D$ 的距离点，所以 $K(P)/D$ 同构于定义在 $D$ 上的完全图。
- 对于 $Del(P)/D$ 中的每条边 $(A, B)$，证明它也在 $Del(D)$ 中。假设 $(A, B)$ 是 $Del(P)/D$ 的一条边，这意味着在 $P$ 中存在两个点 $a \in A$ 和 $b \in B$，使得存在一个经过 $a$ 和 $b$ 的空圆 $C$。根据引理4，$C$ 包含一个与 $A$ 和 $B$ 都相切的圆盘 $G$，$G$ 是 $Del(D)$ 中边 $(A, B)$ 存在的见证。若不是这样，就意味着存在一个圆盘 $F \in D$ 使得 $G \cap F \neq \varnothing$。根据 $R$ 的定义，这意味着