50、加性加权点集的生成图研究

加性加权点集的生成图研究

1. 引言

在几何图论中，生成图（spanner）是一个重要的概念。对于加性加权点集，其生成图的计算和性质研究具有重要意义。当所有 $r_i$ 为正实数，且对于所有的 $i$ 和 $j$ 满足 $|p_ip_j| \geq r_i + r_j$ 时，点可以看作平面上不相交的圆盘。在这种情况下，我们可以计算 $(1 + \epsilon)$ - 生成图，并且加性加权德劳内图（Additively Weighted Delaunay graph）是一个平面生成图，其生成比率与点集的德劳内图相同。

2. 相关工作

常见的几何 $t$ - 生成图包括姚氏图（Yao graph）、$\theta$ - 图（$\theta$ - graphs）、德劳内图（Delaunay graph）和分离对分解图（Well - Separated Pair Decomposition）。
- 姚氏图 ：设 $\theta < \pi/4$ 且 $2\pi/\theta = k$（$k$ 为整数）。对于每个点 $p$，将平面划分为 $k$ 个角度为 $\theta$ 且顶点为 $p$ 的圆锥 $C_{p,1}, \cdots, C_{p,k}$。当且仅当 $q$ 是某个圆锥 $C_{p,i}$ 中离 $p$ 最近的点时，存在从 $p$ 到 $q$ 的有向边。当 $\theta < \pi/4$ 时，姚氏图的生成比率至多为 $1/(\cos\theta - \sin\theta)$。
- $\theta$ - 图 ：当 $\theta < \pi/3$ 时，其生成比率