48、适用于恰当圆弧图同构问题的简单线性时间算法

适用于恰当圆弧图同构问题的简单线性时间算法

1. 引言

区间图、圆弧图及其子类是近年来备受关注的有趣图族。恰当区间图和恰当圆弧图是区间图和圆弧图中研究最多的两个子类。

Booth和Lueker使用PQ树这种数据结构，找到了第一个用于识别区间图的线性时间算法。此后，人们付出了很多努力来简化该算法并避免使用PQ树。对于圆弧图，也有大量工作致力于寻找简单的线性时间识别算法，McConnell提出的第一个线性时间算法实现起来并不简单。

恰当圆弧图的线性时间识别算法也已为人所知，并且它们的实现通常比一般情况的算法容易得多。Deng、Hell和Huang利用他们的恰当区间图识别算法，基于局部锦标赛开发了一种用于恰当圆弧图的线性时间算法，同时他们还描述了关于连通恰当圆弧图和恰当圆弧模型唯一性的结果，这些结果被用于构建同构测试算法。

同构问题是一个难以解决的NP问题，虽然尚不清楚它是否为NP难问题，但对于某些图类，该问题已知可以在多项式甚至线性时间内解决。对于区间图，可以使用标记的PQ树在线性时间内测试同构；对于圆弧图，已知的最佳算法时间复杂度为O(mn)。

本文提出了一种针对恰当圆弧图同构问题的简单算法，当给定恰当圆弧模型时，该算法的时间复杂度为O(n)。其目标是对图的“规范”恰当圆弧模型进行唯一编码，该规范模型通过对输入模型的每个（余）组件进行旋转、反射和排序得到。

2. 基本概念

• 图的基本定义 ：设$G = (V(G), E(G))$是一个图，$n = |V(G)|$表示顶点数，$m = |E(G)|$表示边数。$\overline{G}$表示$G$的补图