46、彼得·温克勒披萨问题与排列图配对支配问题的解决方案

彼得·温克勒披萨问题与排列图配对支配问题的解决方案

彼得·温克勒披萨问题

在披萨分配游戏中，我们考虑一个圆形的披萨序列 (V)，并将其划分为六个弧 (A, B, C, D, E, F)。在这个游戏里，有两位玩家爱丽丝（Alice）和鲍勃（Bob）轮流选取披萨切片。

1. 一跳策略
   • 当 (p(V) < |V|/2) 时，爱丽丝存在一跳策略。根据相关结论，爱丽丝有一个策略能获得 (b/2 + \min{c + d, f + a}) 的收益。不妨设这个和为 (g1 := b/2 + c + d)。同时，根据观察，爱丽丝还有一个收益为 (g2 := e + f + a) 的策略。将这两个结果结合起来，爱丽丝的收益为 (\max{g1, g2} \geq g1/2 + g2/2 = (a + c + d + e + f)/2 + b/4 \geq (a + b + c)/4 + (d + e + f)/2)。
2. 两跳策略
   • 当 (p(V) < |V|/2) 时，爱丽丝存在两跳策略，其收益为 (b/2 + e/4 + \min{c + d, f + a})。
   • 游戏的两个阶段
     • 设 (B = v_iv_{i + 1} \cdots v_{i + \Delta})，则 (E = v_jv_{j + 1} \cdots v_{j + \Delta + 1})，其中 (j = i + (n - 1)/2)。考虑将