40、基于度量聚类最小化半径之和的研究

基于度量聚类最小化半径之和的研究

1. 基本概念与引理

在度量聚类问题中，我们希望找到一种聚类方式，使得所有聚类的半径之和最小。为了实现这一目标，我们需要引入一些基本概念和引理。

首先，对于一个集合 (Q) 和一个划分 (B’)，我们定义一些距离。对于每个 (q_j)，(a_j) 表示到 (B’) 中最近点的距离，(b_j) 表示到 (B’) 中最远点的距离。根据三角形不等式，有 (b_j - a_j \leq 2r)。

我们定义了两个重要的事件：
- (\pi(i)) 解决 (B) ：如果 (i) 是第一个使得 (B’) 中的某个点属于 (Q_i) 的索引，则称 (\pi(i)) 解决 (B)。
- (\pi(i)) 切割 (B) ：如果 (\pi(i)) 解决 (B) 且 (B’) 中至少有一个点未被分配到 (Q_i)，则称 (\pi(i)) 切割 (B)。

划分切割 (B) 的概率可以通过以下公式计算：
[
\sum_{i} Pr[\pi(i) \text{ 切割 } B] = \sum_{j} Pr[q_j \text{ 切割 } B]
]

其中，(q_j) 切割 (B) 的事件需要两个事件同时发生：
- (E_1)：(\beta) 落在区间 ([a_j, b_j)) 内。
- (E_2)：(q_j) 在排序 (\pi) 中出现在 (q_1, \ldots, q_{j - 1}) 之前。

利用独立性，我们可以得到：
[
Pr[q_j \text{ 切