38、图算法与流形提取的技术解析

图算法与流形提取的技术解析

在图论和计算几何领域，有两个重要的研究方向值得深入探讨，一是 Steiner 树的重优化问题，二是三维空间中二维流形的提取问题。下面将详细介绍相关的算法和理论。

Steiner 树重优化算法

在 Steiner 树问题中，有时需要对图的边权进行修改，以适应不同的场景。这里介绍一种针对边权降低情况的近似算法，即 MinSTP - E - 算法。

MinSTP - E - 算法

该算法的输入包括一个度量图 $G_O = (V, E, c_o)$，一个终端集 $S \subseteq V(G)$，$G_O$ 关于 $S$ 的最优 Steiner 树 $T_O$，以及一个新的度量图 $G_N = (V, E, c_n)$，其中除了一条边 $e = (u, v)$ 满足 $c_o(e) \geq c_n(e)$ 外，其余边的权值 $c_n$ 与 $c_o$ 相同。

算法步骤如下：
1. 判断终端情况 ：
- 如果 $u \in S$ 且 $v \in S$：
- 找出 $T_O$ 中从 $u$ 到 $v$ 路径上最贵的边 $f_{max}$。
- 令 $T_A := T_O - f_{max} + e$。
2. 计算 $T_S$ ：$T_S := \min_{t,w \in {u,v},x,y \in V(G),x \neq y}{Shrink(G_N, S, T(x,t,w,y)}$，其中 $T(x,t,w,y)$ 是一个在 ${x, t, w, y}$ 上跨越边 ${(t, x), (w,