29、扁平图和稀疏图的批量着色

扁平图和稀疏图的批量着色

在图论和调度问题的研究中，批量着色问题是一个重要的研究方向。它在经典的多着色和批量调度问题的基础上引入了新的挑战，下面我们将深入探讨相关的技术和解决方案。

1. 基本概念和框架

• 符号定义

  • (p(G))：图 (G) 中所有作业长度的总和，即 (p(G) = \sum_{j\in V} p_j)。
  • (p_{max})：图 (G) 中作业的最大长度，(p_{max} = p_{max}(G) = \max_{j\in V} p_j)。
  • (p_{min})：图 (G) 中作业的最小长度，(p_{min} = \min_{j\in V} p_j)。
  • (\tau)：图 (G) 中两个作业长度的最大比值，(\tau = \tau(G) = p_{max}/p_{min})。
  • 批次（Batch）：是一个独立集，其中所有作业将同时开始调度。批次的长度是该批次中顶点的最大长度。
  • 批次密度：批次 (B) 的密度定义为 (|B|/\ell)，即单位长度内批次 (B) 中的作业数量。
  • 调度（Schedule）：是将顶点划分为一系列批次的过程。
  • 完成时间：批次 (B) 的完成时间是调度中到 (B) 为止（包括 (B)）所有批次长度的总和；作业 (J_j) 在批次 (B) 中的完成时间是 (B) 之前所有批次的长度加上 (J_j) 的长度。
  • 总调度时间（Makespan）：调度中最后