21、局部更新操作的数据结构与简洁数据结构冗余分析

局部更新操作的数据结构与简洁数据结构冗余分析

在数据结构领域，高效的数据结构设计对于提升算法性能至关重要。本文将介绍几种支持局部更新操作的数据结构，以及简洁数据结构冗余的相关内容。

1. 支持局部更新操作的数据结构

1.1 初始数据结构及优化

最初我们得到了数据结构 D，它支持查询操作的时间复杂度为 $O(max(log log U, (log log Δ_{max})^2))$，但空间复杂度为 $O(n log log log U)$，更新操作时间复杂度为 $O(log log log U)$。通过标准的子采样技术，可将空间使用降低到 $O(n)$，使用特定方法可降低更新时间。

定理 3 表明，存在一种线性空间的数据结构，它能在 $O(max(log log U, (log log Δ_{max})^2))$ 时间内支持前驱查询，插入 $insertΔ(x, y)$ 和删除 $delete(x)$ 操作的平摊时间复杂度为 $O(1)$。当宇宙大小 $U = n^{O(1)}$ 且 $Δ_{max} = O(2^{2\sqrt{log log n}})$ 时，该数据结构的前驱查询时间复杂度为 $O(log log n)$。

1.2 空间高效实现

可以实现一种前驱数据结构，在不改变查询和更新时间的前提下，其使用的空间为 $O(n log U + \frac{n}{n})$ 位，该空间使用在常数因子范围内接近信息论下界。

具体实现如下：
- 集合 $A$ 的所有元素存储在列表 $L$ 中，$L$ 按照特定引理实现，每个元素在 $L$ 中的访问时间为 $O(1)$。
- 数据结构 $D$ 包含