19、受限不受欢迎匹配问题的算法研究

受限不受欢迎匹配问题的算法研究

1. 问题背景与定义

在许多实际场景中，如毕业生分配到培训岗位、家庭分配到政府住房、基于邮件的 DVD 租赁系统等，都存在将申请者分配到岗位的问题，且要根据申请者和岗位的偏好列表实现最优分配。

为衡量匹配的“优劣”，人们提出了多种标准，如帕累托最优、秩最大化和最大效用等。但这些标准大多依赖申请者偏好列表中的实际数值或排名，容易被人们通过虚假偏好进行操纵，而且偏好列表仅表达了选项的“相对”排名，以实际数值排名衡量匹配的最优性可能并非正确方法。因此，引入了不使用数值排名的“受欢迎度”这一标准。

• 受欢迎匹配的定义 ：
  • 若申请者 $a$ 在匹配 $M’$ 中被匹配而在 $M$ 中未被匹配，或者 $a$ 在 $M’$ 和 $M$ 中都被匹配且更喜欢 $M’(a)$ 而非 $M(a)$，则称申请者 $a$ 更喜欢匹配 $M’$ 而非 $M$。
  • 若更喜欢 $M’$ 而非 $M$ 的申请者数量大于更喜欢 $M$ 而非 $M’$ 的申请者数量，则称 $M’$ 比 $M$ 更受欢迎，记为 $M’ \succ M$。
  • 若不存在比匹配 $M$ 更受欢迎的匹配 $M’$，则称匹配 $M$ 是受欢迎的。

然而，受欢迎匹配在给定实例中可能不存在。对于该问题，已有多项式时间算法，当偏好列表无平局时，可在 $O(n + m)$ 时间内解决，一般情况下可在 $O(m\sqrt{n})$ 时间内解决，其中 $n = |A \cup P|$，$m = |E|$。但受欢迎匹配的主要缺点是在给