59、带预处理的最近向量问题的对偶格攻击

带预处理的最近向量问题的对偶格攻击

1. 引言

在解决最近向量问题（Closest Vector Problem，CVP）时，不同的参数和方法会带来不同的复杂度和性能。枚举法在多项式时间内解决问题的参数范围非常有限（$r = d^a$，其中常数 $a < 0$），对于有界距离解码问题（BDDP）来说，超指数级的运行时间明显比非预处理情况下的性能更差。而在解决近似 CVP(P) 问题时，如果有足够的内存，最有效的渐近方法是利用大量短的原始格向量数据库，并应用切片程序将目标向量移动到由数据库中向量定义的 Voronoi 单元内。

2. 模型定义

为了形式化不同版本的 CVP，我们定义了两种分布：植入目标分布和随机目标分布。
- 植入目标分布 ：选择一个格向量 $v \in L$，并添加一个噪声 $e \in R^d$，形成目标向量 $t = v + e$。噪声 $e$ 是从半径为 $r g_d$ 的球面上均匀随机选取的。
- 随机目标分布 ：噪声 $e$ 是从由格基生成的基本平行六面体中均匀随机选取的，这也对应于植入分布在 $r \to \infty$ 时的极限情况。

我们还定义了问题的区分版本和搜索版本：
- 区分版本 ：区分来自两种分布的样本（多目标）或单个样本（单目标）。
- 搜索版本 ：在单目标（多目标）设置中，根据来自植入目标分布的一个样本（多个样本），恢复距离在 $r g_d$ 内的格点。

根据 $r$ 的不同取值范围，我们将问题分为