5、计算几何与最长前缀查询的数据结构

计算几何与最长前缀查询的数据结构

在计算几何和字符串处理领域，高效的数据结构对于解决各种问题至关重要。本文将介绍两种不同类型的数据结构，分别用于计算几何中的特定问题以及字符串的最长前缀查询问题。

计算几何中的唯一表示数据结构

在计算几何中，我们常常需要处理点集、线段集等数据，并进行各种查询和更新操作。为了保护用户隐私和简化操作，唯一表示的数据结构应运而生。

二维正交范围报告问题

对于二维正交范围报告问题，我们假设点的坐标值是不同的。为了处理这个问题，我们使用了随机树堆（treap）和有序子集实例。具体操作如下：
1. 数据存储 ：
- 将点集 $P$ 存储在两个随机树堆 $T$ 和 $T’$ 中，分别使用第一坐标和第二坐标的顺序作为二叉搜索树（BST）的排序顺序。
- 同时，将 $P$ 存储在有序子集实例 $D$ 中，使用第二坐标的顺序。
- 为每个树堆 $T$ 中的节点 $v$ 的子树 $T_v$ 分配一个唯一的整数标签 $k$，使得 $T_v$ 成为 $D$ 中的 $S_k$。
2. 插入操作 ：
- 首先，将点 $p$ 按第二坐标插入到 $T’$ 中，并使用 $p$ 在 $T’$ 中的前驱将新元素插入到有序子集实例 $D$ 中，这一步预计需要 $O(\log n)$ 时间。
- 然后，使用 $p$ 的 $x$ 坐标将其插入到 $T$ 中。具体做法是，搜索 $p$ 作为叶子节点在 $T$ 中的位置，然后根据其优先级将其旋转到正确的位置。在旋转过程中，我们可以在 $O(|T_v| \log \log n)$ 时