33、基于唯一分解的更高效洗牌论证

基于唯一分解的更高效洗牌论证

1. 行列式相关引理

在证明中，我们希望某些值尽可能小。有如下引理：
设 (x_1, \ldots, x_N) 是 ({0, \ldots, \sigma_x - 1}) 中的不同随机元素，(y_1, \ldots, y_N) 是 ({0, \ldots, \sigma_x - 1}) 中的不同随机元素。设 (M) 是 (Z_q) 中元素为 ((x_i^{j - 1}+y_i) {i,j = 1}^N) 的矩阵。那么，(\det(M) = 0) 的概率至多为 (1/q)。此外，对于固定的不同的 (x_1, \ldots, x_N) 和固定的不同的 (y_1, \ldots, y {N - 1})，至多存在一个 (y_N) 使得 (M) 不可逆。

证明过程如下：
设 (M) 的行列式为 (D)，记 (x = (x_1, \ldots, x_N)) 且 (S := [1 .. N])。对于子集 (S’ \subseteq S)，设 (M_{S’}) 是这样的矩阵：若 (i \in S’)，其第 (i) 行是 ((x_i^{j - 1}) {j = 1}^N)；若 (i \notin S’)，其第 (i) 行是 ((y_i) {j = 1}^N)。由于 (\det\begin{pmatrix}A & b + c\ D\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}A & b\ D\end{pmatrix} + \det\begin{pmatrix}A & c\ D\end{pmatrix})，通过归纳可得 (D = \sum_{S’ \subseteq S} \det