20、紧支撑正交小波与小波正则性解析

紧支撑正交小波与小波正则性解析

1. 紧支撑正交小波

1.1 紧框架与小波构造

若滤波器 $G_s(e^{i\omega}) = \sum_{n=0}^{\infty}g_s(n)e^{-jn\omega}$ 满足以下性质：
1. $G_s(e^{i0}) = 1$；
2. $|G_s(e^{i\omega})|^2 + |G_s(-e^{i\omega})|^2 = 1$（功率对称）。

则 $\psi(t) \in L^2$，定义小波函数 $\psi(t)$ 如式 (6.93)，序列 ${2^{k/2}\psi(2^kt - n)}$（$k$ 和 $n$ 取所有整数）构成 $L^2$ 的紧框架，框架界为 1。这意味着任意 $x(t) \in L^2$ 可表示为：
[x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \langle x(t), \psi_{kn}(t) \rangle \psi_{kn}(t)]
其中 $\psi_{kn}(t) = 2^{k/2}\psi(2^kt - n)$。此表达式类似正交基展开，可像正交情况一样求小波系数 $C_{kn} = \langle x(t), \psi_{kn}(t) \rangle$。框架提供了重建稳定性，与正交基类似，区别在于函数不是线性独立的，小波紧框架 ${\psi_{kn}(t)}$ 存在冗余。

1.2 紧支撑正交小波基构造

从幂等滤波器组出发可构造 $L^2$ 空间的正交小波基。定义两个无限乘积 $\Phi(\omega)$ 和 $\Psi(\omega)$，在 $G