22、图的关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵相关知识解析

图的关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵相关知识解析

在图论和电气网络理论中，图的关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵是非常重要的概念，它们与基尔霍夫方程紧密相关，在研究电气网络时具有重要的应用价值。下面将详细介绍这些矩阵的定义、性质以及相关定理。

1. 关联矩阵（Incidence Matrix）

考虑一个具有 (n) 个顶点和 (m) 条边且无自环的连通有向图 (G)。图 (G) 的全顶点关联矩阵 (A_c = [a_{ij}]) 具有 (n) 行（每个顶点对应一行）和 (m) 列（每条边对应一列），其中元素 (a_{ij}) 的定义如下：
- 若第 (j) 条边从第 (i) 个顶点发出，则 (a_{ij} = 1)；
- 若第 (j) 条边指向第 (i) 个顶点，则 (a_{ij} = -1)；
- 若第 (j) 条边与第 (i) 个顶点不相关联，则 (a_{ij} = 0)。

关联矩阵的每一行称为一个关联向量。例如，对于图 7.9 所示的有向图，其关联矩阵 (A_c) 如下：
| | (e_1) | (e_2) | (e_3) | (e_4) | (e_5) | (e_6) | (e_7) |
| — | — | — | — | — | — | — | — |
| (v_1) | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | -1 |
| (v_2) | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| (v_3) | 0 | -1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| (v_4) | 0 | 0 | -1 | -1 | 0 | -1 | 0 |
| (v_5) |