5、格背包混合公钥密码系统的密码分析

格背包混合公钥密码系统的密码分析

1. 引言

随着量子算法的发现，能够在多项式时间内对整数进行因式分解和计算离散对数，这使得RSA、DSA和ECDSA等传统公钥密码系统的安全性受到了严重威胁。因此，设计能够抵御量子算法攻击的新型公钥密码系统变得尤为迫切。目前，基于抗量子算法攻击的计算难题的新型密码系统得到了广泛研究，包括基于哈希、基于代码、基于多元多项式方程和基于格的密码学。

1997年，Ajtai和Dwork提出了第一个基于格的密码系统，但为了避免Nguyen和Stern的启发式攻击，该系统的实现需要非常大的密钥，实用性较差。为了提高效率，Cai和Cusick将Ajtai - Dwork密码系统与背包问题相结合，构建了新的密码系统，但该系统也被Pan和Deng提出的迭代方法破解。

之后，Pan等人提出了一种新的基于格的公钥密码系统，它在设计中融入了背包问题。该系统没有特殊的循环结构，并且将背包结构隐藏在线性组合之后，使得现有的针对背包公钥密码系统的攻击方法似乎无法适用。不过，该系统没有安全证明，且速度比一些先进的基于格的加密方案慢。

本文将介绍针对Pan等人提出的密码系统的两种可行攻击方法：广播攻击和多次传输攻击。

2. 密码系统描述

2.1 参数设置

该密码系统由安全参数$m$进行参数化，令$n = 2m$。

2.2 密钥生成

1. 随机选择一个超递增序列${N_1 = 1, N_2, \cdots, N_n}$和一个排列$\tau$，使得$\tau^{-1}(1) \leq m$。
2. 对于每个$1 \leq i \