9、堆数据结构：原理、实现与应用

堆数据结构：原理、实现与应用

1. 堆的基本概念

堆是一种特殊的二叉树变体，主要用于高效地执行两个操作：一是查找并移除集合中的最小元素，二是向集合中添加新元素。但它不支持随机访问元素。堆与普通二叉树的关键区别在于排序原则：堆只要求每个节点的值小于其子节点的值，对子节点之间没有特定的顺序要求。这意味着在堆中查找特定节点需要遍历整个树。

堆在很多场景中都有应用，例如操作系统的任务调度。操作系统有许多进程，当需要运行一个进程时，希望能快速选择优先级最高的就绪进程。使用堆可以避免对所有可用进程进行完全排序，因为堆中高优先级的元素会自然上浮到顶部，而低优先级元素只需部分排序，这样在添加或移除元素时可以减少工作量。在大多数Unix系统中，较小的整数表示较高的优先级，这与默认的堆顺序（最小的数位于堆顶）相匹配。

2. 堆的类型及性能比较

常见的堆有三种类型：二叉堆、二项堆和斐波那契堆。下面的表格比较了它们在不同操作下的性能：
| 操作 | 二叉堆（最坏情况） | 二项堆（最坏情况） | 斐波那契堆（均摊） |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 创建空堆 | θ(1) | θ(1) | θ(1) |
| 插入新元素 | θ(log N) | θ(log N) | θ(1) |
| 查看最小值 | θ(1) | θ(log N) | θ(1) |
| 提取最小值 | θ(log N) | θ(log N) | θ(log N) |
| 合并两个堆 | θ(N) | θ(log N) | θ(1) |
| 减小键值 | θ(log N) | θ(log N) | θ(