58、交互式统计图形：关联视图范式

交互式统计图形：关联视图范式

1. 异常值识别与关联视图的作用

在数据分析中，人眼往往会将与主要数据点云分离的数据点归类为异常值或异常观测。然而，分布中的间隙或分布域边界处的低密度区域可能会误指示异常值。人类视觉系统在判断数据点与分布中心的距离以及这种距离对于特定类型数据是否异常时存在困难，尤其是在多变量的情况下。很多乍一看可疑的数据点，经过更深入的调查后可能并非异常值。

不过，数据中的间隙、较大的最近邻距离和其他明显模式会首先吸引分析师的注意。通过突出显示这些情况并观察它们在其他图中的表现，可以立即检查模式的维度。假设数据之间存在相关性，这些异常点在大多数其他图中也应该呈现出显著的模式。关注这些点可以让我们了解数据的相关结构，并有助于检测高相关和低相关变量。

2. 聚类与分类

2.1 利用关联视图检测聚类

使用关联视图检测聚类是一种高度交互式的方法，很大程度上依赖用户的经验，需要在数据的各种视图之间快速切换。选择子集是关联视图的核心交互过程，结果取决于能否找到能定义良好分类的子集，其中关键是提取可用于分类的主要信息变量。

具体操作步骤如下：
1. 一维聚类：在点图中可以看到一维聚类，选择其中一个聚类后，可在所有其他关联图中检查该聚类是否扩展到更多维度。这是解释数据结构和寻找有影响变量的简单第一步。
2. 二维结构：对于二维结构，需要系统地创建一个变量的子集，然后在其他图中查看高亮显示的点是否出现聚类。
3. 高维结构：通过逻辑运算组合不同图中的选择，可以找到高维结构，主要使用交集模式来定义复杂的选择。

2.2 不同视图下聚类的识别

• 低维视图：在低维视图中，我们可以轻松识别低维聚类。使用选择序列可以对数据库进行更复杂的查询，从而检测高维聚类。
• 关联条形图和直方图：这是分析包含离散和连续变量数据集的有效方法。
• 单变量视图的局限性：单变量视图只能显示可以通过垂直于绘图轴的线区分的聚类。例如，二维中沿对角线分裂的聚类在散点图中很容易描绘，但在任何标准投影中都看不到。关联视图可以让我们在边际视图中看到这些聚类。在刷过其中一个变量时，另一个变量中高亮显示的点会分裂并显示聚类。点图和直方图都可以显示这种效果，但直方图会平滑数据，不如点图清晰地显示聚类之间的小间隙。

2.3 搜索三维聚类的方法

对于在任何二维投影中都看不到的三维聚类，我们需要组合选择并以两个变量为条件，搜索在第三个变量的高亮显示点中产生足够间隙的子集。

3. 几何结构

高维点云可视化的主要目标是识别低维结构的存在。例如，Carr和Nicholson研究了由以下方程生成的三个花瓣结构：

x = cos(u) * cos(3u) + noise,
y = sin(u) * sin(3u) + noise.

在散点图中可以立即看到这种结构，但在一维散点图中，由于点的大量重叠，很多结构会不明显。因此，我们使用关联边际直方图。当在直方图中刷过x值时，y变量中的约束就会变得明显，我们可以看到花瓣中的孔洞以及三个花瓣在中心的交点。通过一些努力，我们可以从一维边际视图中重建花瓣的整个结构。

在高维中，该过程以相同的方式工作，只是没有像二维数据的散点图那样完美的二维总结图进行比较。

通过关注高密度区域，我们可以检测到同质聚类和局部结构。例如，一个关于花粉粒几何特征的合成数据集，在一些散点图中，点云中心有一个铅笔形状的高密度区域。选择其中一个区域后发现这些是同一区域的二维投影。通过交互式更改绘图边界进行放大，隐藏的结构就会显现出来，原来是由六个点簇组成的“EUREKA”字样被嵌入到一个五维随机正态数据球中。

下面是一个简单的mermaid流程图，展示从关联视图检测聚类的流程：

graph LR
    A[开始] --> B[查看一维聚类]
    B --> C{是否扩展到更多维度}
    C -- 是 --> D[进一步分析高维结构]
    C -- 否 --> E[创建二维变量子集]
    E --> F{是否出现聚类}
    F -- 是 --> D
    F -- 否 --> G[组合不同图选择找高维结构]
    G --> D
    D --> H[结束]

4. 变量关系与回归模型

4.1 图形在回归模型中的作用

许多统计问题可以表述为回归模型。历史上，大多数回归工作都涉及数值程序，而在过去二十年中，图形被用作诊断图。Anscombe用四个具有相同数值回归参数但散点图视图完全不同的人工数据集表明了查看数据的重要性。图形不仅可用于检查模型假设和确定回归函数的类型，还能帮助确定建模步骤中应包含哪些变量。对于某些数据集，图形显示的模式非常明显，以至于不需要进行正式分析。

4.2 关联视图在回归模型中的应用

关联视图是描绘解释变量和响应变量之间关系并克服维度限制的自然选择。例如，一个包含三个解释变量和一个响应变量的四维数据集可以用一个三维旋转图与一维点图关联显示。回归模型的一般目的是为未来观测建立预测规则，虽然图形程序可能无法进行精确量化，但可以给出良好的定性预测，并且可以轻松识别解释变量和响应变量之间的函数关系类型。

图形分析回归模型的基本策略是将响应变量的视图与解释变量的视图关联起来。下面分别介绍连续响应模型和离散响应模型的情况。

4.3 连续响应模型

连续响应模型是大多数入门统计课程的主要内容，但在实际中并不常见。可视化一维连续响应变量可以选择点图、直方图或箱线图，箱线图虽然对数据进行了大量总结，但在评估函数关系时很有用。

操作步骤如下：
1. 反向回归：刷过响应变量并检查解释变量图中的相应高亮显示，对应反向回归。
2. 部分响应图：刷过解释变量并关联到响应变量，属于部分响应图。
3. 数据分区：随着数据量的增加，单一回归函数很难拟合所有数据，交互式图形子集划分是找到可以用单独回归很好拟合的数据分区的有用工具。

以202名澳大利亚运动员的数据为例，包含五个血液学测量值、六个身体测量值以及两个分类变量（性别和运动项目）。通过比较箱线图中女性群体和所有运动员的中位数和四分位间距，可以将11个变量大致分为两组：一组与性别高度相关，另一组与性别无关。还可以使用动态着色来判断变量与性别的相关性。

4.4 离散响应模型

离散数据在社会和行为科学的许多调查中很常见，针对这类数据建模设计了对数线性和逻辑模型。下面以一个包含1246名工人的数据集为例，变量包括“支气管炎”（响应变量，二元变量）、“吸烟者”（二元变量）、“灰尘”（对数转换后的暴露灰尘量）和“持续时间”（暴露于灰尘污染的时间）。

操作步骤如下：
1. 检查解释变量的依赖结构：
- 一维结构：使用直方图总结连续变量的一维结构，“持续时间”的直方图形状对锚点和箱宽的变化不太敏感，而“灰尘”的直方图则高度依赖这些参数。
- 二维依赖：使用散点图可视化两个连续变量之间的依赖关系，发现“灰尘”和“持续时间”之间几乎没有结构关系，且它们与吸烟行为也没有明显关系。
2. 分析响应变量与解释变量的关系：
- 离散解释变量：对于“吸烟者”这个离散解释变量，可以使用马赛克图或两个关联的脊柱图，结果表明吸烟者比非吸烟者更容易患支气管炎。
- 连续解释变量：刷过“灰尘”的直方图，发现低灰尘的两个聚类对支气管炎风险没有增加，而高灰尘聚类则强烈表明患支气管炎的风险增加。刷过“持续时间”的直方图，发现工作历史长的员工患支气管炎的风险增加。
3. 回答关键问题：
- 灰尘是否增加支气管炎风险：通过交互式选择序列技术，选择高持续时间但低灰尘暴露的吸烟工人，发现支气管炎比例几乎没有差异；而选择高灰尘暴露的工人时，患支气管炎和未患支气管炎的工人有明显区别。
- 最大安全灰尘暴露值：通过刷过“灰尘”的直方图并观察“支气管炎”脊柱图中比例开始不同的位置，取刷子的下限作为最大安全值，得到值为1.32。

下面是一个表格总结连续响应模型和离散响应模型的分析方法：
| 模型类型 | 可视化方法 | 分析步骤 |
| ---- | ---- | ---- |
| 连续响应模型 | 点图、直方图、箱线图 | 反向回归、部分响应图、数据分区 |
| 离散响应模型 | 直方图、散点图、马赛克图、脊柱图 | 检查解释变量依赖结构、分析响应与解释变量关系、回答关键问题 |

通过以上内容，我们可以看到关联视图在异常值识别、聚类分析、几何结构可视化以及回归模型分析等方面都具有重要作用，能够帮助我们更好地理解和分析数据。

5. 关联视图在不同响应模型中的深入应用

5.1 连续响应模型的进一步分析

在连续响应模型中，除了前面提到的基本操作，还可以通过关联视图探索更多的数据特征。例如，对于澳大利亚运动员的数据，我们可以进一步分析变量之间的高阶相关性。通过关联多个变量的视图，我们可以发现一些隐藏的关系。比如，在分析“体重（Wt）”和“身高（Ht）”与其他变量的关系时，我们可以同时刷过“体重”和“身高”的点图，然后观察其他变量图中的高亮显示情况。

操作步骤如下：
1. 同时刷过“体重”和“身高”的点图，选择一个体重和身高的子集。
2. 观察其他变量（如“体脂百分比（%Bfat）”、“瘦体重（LBM）”等）图中的高亮显示点的分布情况。
3. 分析这些高亮显示点的分布是否呈现出特定的模式，从而推断变量之间的高阶相关性。

通过这种方式，我们可以更全面地了解数据中变量之间的相互关系，为后续的建模提供更丰富的信息。

5.2 离散响应模型的拓展应用

对于离散响应模型，除了前面分析的变量关系，还可以考虑变量之间的复杂交互作用。以工人支气管炎数据为例，我们可以进一步研究“灰尘”、“持续时间”和“吸烟者”三个变量之间的交互对“支气管炎”的影响。

操作步骤如下：
1. 创建一个包含三个变量条件的交互式选择。例如，选择“高灰尘”、“长持续时间”和“吸烟者”的子集。
2. 观察“支气管炎”变量图中的高亮显示情况，判断这个子集的工人患支气管炎的比例。
3. 改变选择条件，如选择“低灰尘”、“短持续时间”和“非吸烟者”的子集，再次观察“支气管炎”变量图中的高亮显示情况。
4. 通过比较不同子集的结果，分析三个变量之间的交互作用对“支气管炎”的影响。

通过这种深入的分析，我们可以更准确地理解离散响应模型中变量之间的复杂关系，为制定相关的政策或建议提供更有力的依据。

6. 关联视图在实际应用中的优势与挑战

6.1 优势

• 直观性：关联视图能够将数据以直观的图形方式展示出来，让分析师能够快速地观察到数据的特征和模式。例如，在聚类分析中，通过关联视图可以清晰地看到不同维度下的聚类情况，帮助分析师更好地理解数据的结构。
• 交互性：用户可以通过交互操作（如刷选、选择子集等）来探索数据，深入了解数据之间的关系。这种交互性使得分析师能够根据自己的需求和兴趣，有针对性地分析数据，提高分析效率。
• 多维度分析：关联视图可以同时展示多个变量的视图，支持多维度的数据分析。在回归模型分析中，关联视图可以将解释变量和响应变量的视图关联起来，帮助分析师更好地理解变量之间的关系，克服维度限制。

6.2 挑战

• 数据复杂性：当数据维度较高、变量较多时，关联视图可能会变得复杂，难以理解。分析师需要花费更多的时间和精力来解读视图，提取有用的信息。
• 用户经验要求：使用关联视图进行数据分析需要一定的经验和技能。用户需要了解不同图形的特点和用途，掌握交互操作的方法，才能有效地利用关联视图进行数据分析。
• 数据质量：关联视图的分析结果依赖于数据的质量。如果数据存在噪声、缺失值等问题，可能会影响视图的准确性和可靠性，导致错误的分析结论。

下面是一个mermaid流程图，展示关联视图在数据分析中的优势和挑战的关系：

graph LR
    A[关联视图] --> B[优势]
    A --> C[挑战]
    B --> B1[直观性]
    B --> B2[交互性]
    B --> B3[多维度分析]
    C --> C1[数据复杂性]
    C --> C2[用户经验要求]
    C --> C3[数据质量]

7. 总结与展望

7.1 总结

关联视图作为一种交互式统计图形方法，在数据异常值识别、聚类分析、几何结构可视化以及回归模型分析等方面都具有重要的应用价值。通过关联不同变量的视图，我们可以直观地观察数据的特征和模式，深入了解数据之间的关系。在连续响应模型和离散响应模型的分析中，关联视图提供了有效的工具和方法，帮助我们更好地理解数据，为建模和决策提供支持。

7.2 展望

随着数据量的不断增加和数据维度的不断提高，关联视图在数据分析中的应用前景将更加广阔。未来，我们可以进一步探索关联视图的技术，提高其处理大规模和高维度数据的能力。例如，开发更高效的算法和数据结构，优化视图的展示和交互方式，提高用户体验。同时，我们还可以将关联视图与其他数据分析方法（如机器学习、深度学习等）相结合，拓展其应用领域，为解决更复杂的数据分析问题提供新的思路和方法。

总之，关联视图作为一种强大的数据分析工具，将在未来的数据分析领域发挥越来越重要的作用，为我们更好地理解和利用数据提供有力的支持。

以下是一个表格总结关联视图在不同方面的应用和作用：
| 应用领域 | 作用 |
| ---- | ---- |
| 异常值识别 | 帮助识别数据中的异常值，了解数据的相关结构 |
| 聚类分析 | 检测不同维度的聚类，分析数据的结构 |
| 几何结构可视化 | 识别高维数据中的低维结构 |
| 回归模型分析 | 描绘变量之间的关系，进行定性预测，支持建模 |

通过以上内容，我们对关联视图在数据分析中的应用有了更全面的了解，希望能够为读者在实际数据分析中提供有益的参考。