45、对称密码和哈希函数的新统计测试

对称密码和哈希函数的新统计测试

1. 布尔函数的代数范式结构

• 布尔函数基础 ：布尔函数是从 (F_2^n) 到 (F_2) 的函数 (f)，这类函数的数量为 (2^{2^n})。随机布尔函数 (f) 的值是独立同分布（i.i.d.）的随机变量，即对于任意 ((x_1, \ldots, x_n) \in F_2^n)，有 (P[f(x_1, \ldots, x_n) = 0] = \frac{1}{2})，每个 (f(x_1, \ldots, x_n)) 是参数为 (\frac{1}{2}) 的伯努利随机变量，对应的概率分布记为 (B(p))，这里 (p = \frac{1}{2})。布尔函数 (f) 在 (F_2^n) 上的权重定义为 (wt(f) = |{x \in F_2^n | f(x) = 1}|)，若 (wt(f) = 2^{n - 1})，则称该布尔函数是平衡的，但随机布尔函数不一定平衡。
• 代数范式（ANF） ：布尔函数 (f) 的代数范式为 (f(x_1, \ldots, x_n) = \sum_{u \in F_2^n} a_u x^u)，其中 (a_u \in F_2)，(u = (u_1, \ldots, u_n))，(x^u = \prod_{i = 1}^{n} x_i^{u_i})，(a_u) 由 (f) 的莫比乌斯变换给出：(a_u = \sum_{x \preceq u} f(x))，这里 (\preceq) 表示布尔格上的偏序关系，即 (\alpha \preceq \beta) 当且仅当对于所有 (1 \leq i \leq n) 有 (\alpha_i \leq \bet