如何判断一个点在三角形内部

如何判断一个点在三角形内部

基本思路

如图，点P在三角形ABC内部，可以通过以下三个条件判断：

1. 点P和点C在直线AB同侧
2. 点P和点B在直线AC同侧
3. 点P和点A在直线BC同侧

如果以上三个条件同时满足，则点P在三角形ABC内部。

下面将会用到叉乘这个数学工具来确定一个点在直线的哪一侧。

判断点在直线的哪一侧

叉乘是一个判断点在直线哪一侧的数学工具。先看一下叉乘的定义：

$$\vec{a} \times \vec{b} = \| \vec{a}\| \| \vec{b} \| \sin \theta \vec{n}$$

其中，$\theta$为向量夹角，$\vec{n}$是一个向量，与$\vec{a}$和$\vec{b}$都垂直，方向满足右手螺旋法则，即下图所示：

于是，从第一个向量的方向看，如果第二个向量在左边，那个叉乘是正的，在右边，则是负的，在同一个方向上，则是0.叉乘的大小，则是两个向量组成的平行四边形的面积。

那么叉乘具体如何计算呢？先将x、y、z轴方向的单位向量分别记为$\vec{i}$、