扩展欧几里得

最新推荐文章于 2025-04-07 00:20:57 发布

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本文详细介绍了扩展欧几里得算法的概念及其应用，包括如何求解线性方程的整数解，并通过实例解释了算法的具体实现过程。

什么是欧几里得

~~是个变态~~

什么是欧几里得算法

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
好证不证了

什么是扩展欧几里得

求a*x+b*y=gcd(a,b)的解
对，是他，就是他

准备

a*x+b*y=n*gcd(a,b) 一定有整数解
a,b,c为任意整数，如果x0，y0为方程 ax+by=c 的一组解，则方程的任意整数解都可以表示为（x0+n*b/gcd(a,b) ,y0-n*a/gcd(a,b)) ，n为任意整数。
很好证
x增加的：y减少的=b：a就好了
若gcd(a, b) = d，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。
若gcd(a, b) = 1，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。

开始

我们知道了一定存在 x 和 y 使得： a*x + b*y = gcd ，那么，怎么求出这个特解 x 和 y 呢？只需要在欧几里德算法的基础上加点改动就行了。
我们观察到：欧几里德算法停止的状态是： a= gcd ， b = 0 ，那么，这是否能给我们求解 x y 提供一种思路呢？因为，这时候，只要 a = gcd 的系数是 1 ，那么只要 b 的系数是 0 或者其他值（无所谓是多少，反正任何数乘以 0 都等于 0 但是a 的系数一定要是 1），这时，我们就会有： a*1 + b*0 = gcd
当然这是最终状态，但是我们是否可以从最终状态反推到最初的状态呢？
假设当前我们要处理的是求出 a 和 b的最大公约数，并求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我们已经求出了下一个状态：b 和 a%b 的最大公约数，并且求出了一组x1 和y1 使得： b*x1 + (a%b)*y1 = gcd ，那么这两个相邻的状态之间是否存在一种关系呢？
我们知道： a%b = a - (a/b)*b（这里的 “/” 指的是整除，例如 5/2=2 , 1/3=0），那么，我们可以进一步得到：
gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1
= b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1
= a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)
对比之前我们的状态：求一组 x 和 y 使得：a*x + b*y = gcd ，是否发现了什么？
这里：
x = y1
y = x1 – a/b* y1

所以

如果得到ax ≡ c (mod b)的某一特解X，那么我令r = b/gcd(a, b)，可知x在[0, r-1]上有唯一解，所以我用x = (X % r + r) % r就可以求出最小非负整数解x了！（X % r可能是负值，此时保持在[-(r-1), 0]内，正值则保持在[0, r-1]内。加上r就保持在[1, 2r - 1]内，所以再模一下r就在[0, r-1]内了）。
记下来吧

来一道题

poj —— 青蛙的约会

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行”Impossible”
Sample Input

1 2 3 4 5
Sample Output

4
这道题不难
真的不难

思路思路思路

求一个k，使x + k*m ≡ y + k*n (mod L)
然后对方程化简，就变成(n-m) * k ≡ x-y (mod L)。
？？
what ？？
咋化简啊？？
来定理

很容易化简了吧╮(╯▽╰)╭

然后这个方程其实就等价于(n-m)*k + L*s = x-y。
这就是ax + by = c求整数x的模型。

#include <iostream>
using namespace std;
long long extgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y)
{
    long long d, t;
    if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } //递归最后得到的解
    d = extgcd(b, a % b, x, y);
    t = x - a / b * y; x = y; y = t;//用后面的解表示前面的解
    return d;//return 最大公约数
}
int main()
{
    long long x, y, m, n, L, X, Y, d, r;
    while (cin >> x >> y >> m >> n >> L)
    {
        d = extgcd(n - m, L, X, Y); r = L / d;//extgcd有两个作用 1.找出最小公倍数下面判断 2.找解 
        if ((x - y) % d) cout << "Impossible" << endl;//判断（x-y)是不是d的倍数 
        else cout << ((x - y) / d * X % r + r) % r << endl;//求最小正整数解，原理讲过了 
    }
    return 0;
}

我写的太辣鸡啦qwq
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