数理统计及概率论-核心知识总结

从五月十号以来就开始忙着实习的工作以及课设的事情，所以半个月来都没又发博客了。最近在准备概率论的考试，所以总结了一些概率论基础知识。我觉得我们还是有必要把概率论基础给掌握的，笔试有时也会考到，面试中也有可能问到譬如选牌这类概率智力题。主要是理解古典概型和全概率、贝叶斯公式以及伯努利实验。

一.概率论基本概念

1.什么是概率论

现实世界中的现象分为两大类：分为确定性的和随机性现象；而概率论研究的是在随机性的现象中的规律的预测和决策。

2.随机试验

随机试验指的是

1. 可以在相同的情况下重复进行
2. 试验结果不会只有一种
3. 实验之前不知道会出现哪个结果

3.样本空间

随机试验的所有结果集合被称为样本空间

4.事件运算关系

文氏图：

例子：

5.事件运算律

二.概率与古典概型

1.概率的定义

2.概率性质

TIP:在非古典概率中，P(A)和P(B)是有可能发生冲突的，如下，所以需要有P(AB)这个排除

3.概率例题

4.古典概型【排列组合求解】

1.定义

1. 试验的样本空间是有限的
2. 每个样本点出现的可能性是相同的

2.计算公式

3.例题

分房间问题/生日问题

5.几何概型

1.定义

1. 样本空间由无数样本点组成，但是可以形成一个区域，该区域是可以度量的
2. 向样本空间中投掷一个点，其在任意位置出现的概率都是等可能的

2.例题

三.条件概率

1.定义

例题

2.乘法定理

2.全概率公式

3.贝叶斯公式

例题

四.随机变量与分布函数

1.随机变量定义

2.分布函数定义

3.分布函数的性质

例题

口袋中装有3个白球和2个红球，从中任取3个球，求取出的3个球中白球数的分布函数

4.离散型随机变量

例题

5.离散分布模型

1.两点分布 & 0 - 1分布

2.伯努利实验 & 二项分布

• 伯努利实验
  伯努利实验指的是在相同条件下重复进行实验当数学模型，并且只有两个可能的结果。

• n重伯努利实验
  每次实验中某事件A或者发生或不发生，进行n次实验。例如每天的天气只有下雨和不下雨，求n天中有一天下雨的概率；每次投篮可以中或不中，求n次投篮中有2次不中当概率等，都属于n重伯努利实验。

• 二项分布

二项分布即描述n重伯努利实验的数学模型：

进行n次伯努利实验，其中每次成功的概率为p，如果要有k次成功的概率为：

3. 泊松定理 & 泊松分布

柏松定理解决的是大数据量情况下的不放回抽样，且抽样失败概率很小时的问题，用以替代掉n重伯努利实验的的二项分布。

例题

6.连续分布模型

1.定义

2.密度函数

3.密度函数性质

P{X = a} = 0,连续分布情况下，在某个特定的点的概率为0

分布函数求导可得密度函数

例题

4.均匀分布

性质

例题