网络流24题:圆桌问题

这题是一道网络流的题目(废话)

但是也可以用贪心做惊讶

但是这是一篇网络流的题解微笑

所以咱们正常一点敲打

首先将源点向每一个单位连一条流量为人数的边~

然后将每一张桌子向汇点连一条流量为桌子容量的边~

最终将每一个单位向每一张桌子连一条流量为1的边~

然后跑最大流(废话)

对比最大流和总人数~

如果相等,成功!吐舌头

否则,失败!敲打

至于输出方案,枚举每个单位向桌子连的边是否有流量即可。

代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define o edge[i].t
using namespace std;
int n,m,S,T=23333,sum,cnt=1;
int dep[66666],head[66666];
struct hh{int t,w,nxt;}edge[666666];
void make_edge(int f,int t,int w)
{
	edge[++cnt]=(hh){t,w,head[f]};
	head[f]=cnt;
	edge[++cnt]=(hh){f,0,head[t]};
	head[t]=cnt;
	return;
}
void build()
{
	int x;
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&x),sum+=x,make_edge(S,i,x);
	for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&x),make_edge(i+n,T,x);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++)
			make_edge(i,j+n,1);
	return;
}
int dfs(int x,int num)
{
	if (x==T) return num;
	int ret=0;
	for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
	if (dep[o]==dep[x]+1&&edge[i].w)
	{
		int k=dfs(o,min(num,edge[i].w));
		num-=k;
		ret+=k;
		edge[i].w-=k;
		edge[i^1].w+=k;
		if (!num) break;
	}
	if (!ret) dep[x]=0; 
	return ret;
}
bool bfs()
{
	queue<int>q;
	q.push(S);
	memset(dep,0,sizeof(dep));
	dep[S]=1;
	while (!q.empty())
	{
		int tmp=q.front();
		q.pop();
		for (int i=head[tmp];i;i=edge[i].nxt)
		if (!dep[o]&&edge[i].w)
		{
			dep[o]=dep[tmp]+1;
			q.push(o);
		}
	}
	return dep[T];
}
void dinic()
{
	while (bfs()) sum-=dfs(S,0x7fffffff);
	return;
}
void in()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	return;
}
void out()
{
	if (sum){printf("0");return;}
	printf("1\n");
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=head[i];j;j=edge[j].nxt)
			if (!edge[j].w&&edge[j].t!=S)//有流量,边终点不是源点 
				printf("%d ",edge[j].t-n);
		puts("");
	}
	return;
}
int main()
{
	in();
	build();
	dinic();
	out();
	return 0;
}

### 构造用于解决圆桌问题的流网络 在处理圆桌问题时,通过构建特定结构的流网络并应用最大流算法来寻找解决方案是一种有效的方法。具体来说: 对于给定的人数以及座位安排条件,在构造流网络时需要引入虚拟源点 \(s\) 和汇点 \(t\) 来表示人员分配情况下的起点和终点。每个人作为节点加入到该图中,并且每张桌子同样被视作一个独立节点。 为了确保每个人都能够恰好坐在一张桌子上而不违反任何约束条件(比如性别交替),可以按照如下方式建立连接关系[^1]: - **个人至桌子之间的边**:如果某位成员可以选择坐于某个位置,则在这两者间创建一条由前者指向后者的边,其容量设为1,意味着此位置仅能容纳一人就座。 - **桌子内部循环链路**:为了让同一桌上不同席次之间形成闭合路径从而实现轮流而坐的效果,可以在相邻两个座位对应的节点间设置双向边,它们各自拥有单位容量。这有助于模拟实际场景下人们围绕餐桌按顺序排列的情形。 - **特殊链接**:依据实际情况可能还需要额外添加一些特殊的边以辅助计算过程中的流量平衡调整。例如,当涉及到多轮次会议或是存在某些特别规定时,可以通过增加适当权重或方向性的边来进行适应性修改[^3]。 最后一步是确认整个系统的合法性——即检查所得到的最大流值是否正好匹配参与人数总数。只有在这种情况下才能说明找到了一种合理的座位分布方案;反之则表明当前设定条件下无法达成目标配置。 ```python from collections import defaultdict def add_edge(graph, u, v, capacity): graph[u].append((v, len(graph[v]), capacity)) graph[v].append((u, len(graph[u]) - 1, 0)) # reverse edge with zero capacity initially def max_flow_bfs(graph, source, sink): n = len(graph) flow = [0] * n parent = [-1] * n while True: visited = [False] * n queue = [(source, float('inf'))] for (node, path_flow) in queue: if not visited[node]: visited[node] = True if node == sink: break for i, (_, rev_idx, cap) in enumerate(graph[node]): next_node = _[0] if cap > 0 and not visited[next_node]: queue.append((next_node, min(path_flow, cap))) parent[next_node] = (node, i) if not visited[sink]: return sum(flow), graph increment = queue[-1][1] v = sink while v != source: u, idx = parent[v] _, rev_idx, _ = graph[u][idx] graph[u][idx] = (graph[u][idx][0], graph[u][idx][1], graph[u][idx][2] - increment) graph[v][rev_idx] = (graph[v][rev_idx][0], graph[v][rev_idx][1], graph[v][rev_idx][2] + increment) v = u flow[sink] += increment ```
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