求N!的最末位非零数

先看一个网友给的巧妙的解题思路：

解题过程：

　　这题的解法很多，有很多解法现在还不是很理解，受网上朋友启发，觉得下面的算法是比较易懂的，现在归纳一下。　

　　观察n!，可以发现在乘的过程中，对于任意 n > 1，n!的末尾第一个非0数字都是偶数。我们只需保留最后一位非零数。当要乘的数中含有因数5时，我们可以把所有的因数5都当作8来乘。这是因为:

...x2*5=...10（舍，因为非零末位肯定为偶数）或...60，最后一位非零数为6。而恰好2*8=16，末位为6。(x2表示02,12,22,32,...,92)

...x4*5=...70（舍）或...20，最后一位非零数为2。而恰好4*8=32，末位为2。

...x6*5=...30（舍）或...80，最后一位非零数为8。而恰好6*8=48，末位为8。

...x8*5=...90（舍）或...40，最后一位非零数为4。而恰好8*8=64，末位为4。

(对于n > 1时，最后一位不会出现 1, 7, 3, 9，而永远是2, 4, 6, 8的循环出现)

       　因此，在迭代作乘法时，主要就是计算因子5的数量，同时最后非零位随着因子5的个数以4为循环节（即只需要取它的数量对4取模）。如２×８＝６，６×８＝８，８×８＝４，６４×８＝２，２×８＝６，此时出现循环，对于４，６，８情况也一下，那么对于不同情况下的因子5的数量，可以通过res[5][4] = {{1,1,1,1}, {2,6,8,4}, {4,2,6,8}, {6,8,4,2}, {8,4,2,6}}来得到。

　　又最后的末尾　＝　去掉5的倍数的数相乘所得的末尾（非零的）× 5 的倍数的数相乘的非零末位 ＝ 最后的非０末尾 ，这两部分分别记为T1,T2

         观察1 * 2 * 3 * 4 * 6 * 7 * 8 * 9 * 1 * 2 * 3 * 4 * 6 * 7 * 8 * 9发现，阶乘最后非零位 1 2 6 4 4 8 4 6 6 2 6 4 4 8 4 6 显然出现了循环，这就是封闭性，故N!去掉5的倍数的最后非零数只要看整个数最后一位i即可，设N>=10,那么这个非零数 可由cvt[i] = {6,6,2,6,4,4,4,8,4,6,     1,1,2,6,4,4,4,8,4,6｝得到，当N<10时，可由cvt[10+i]得到。所以T1可以很简单地得到。

         所有５的倍数为5,5X2,5X3,......,5Xi,　其中i＝N/5。又5X5X2X5X3X......X5Xi = 5^iX(1X2X...Xi),前半部分５的因子个数为i，后半部分的又可以分为T1,T2两部分，这样递归下去直到最后i < 10为止，这时总的５的因子个数为(之前求出的5的因子的个数+i/5)，５的因子的个数对４取模只要这个数的后两位对４取模即可，如１２３＝(１00+23)%4 = 23%4,最后的答案可以根据除因子５外其它的数的非零未位K（２，４，６，８）中的一个，和５的因子个数对４取模的值J,得结果为res[K/2][J]。以上都假设N>1，当N为0或时，那么同样可用res[0][0]作为结果。

下面给个具体例子再结合上面体会下：

以125为例，首先看到个位数为5，那么查表得1*2*3*4*6...124(其中不包含因子含5的项)末位非零数为4，然后125/5为25， 说明其中包含25个5因子，5*10*15*...*125=（5的25次方）*1*2*3*4*5*...*25。然后递归处理1*2*3*4*5...25。1*2*3*4*6*...*24(其中不包含因为含5的项)末位非零数为4,其中含5因子5个，然后求1*2*3*4*5，末位非零数为2，最终末位非零数为4*4*2*(5的30次方)=32*(5的30次方)=2*(5的30次方)，5的30次方就是将2按照{2,6,8,4}循环节循环30%4次，即2次，最后结果为8。代码很好写，写个递归程序就行。