求N！最后一位非零数

最新推荐文章于 2021-08-10 16:01:06 发布

原创最新推荐文章于 2021-08-10 16:01:06 发布 · 2.4k 阅读

3 ·

CC 4.0 BY-SA版权

数论专栏收录该内容

34 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种高效算法来确定任意正整数n的阶乘n!的最后一位非0数字。该算法通过去除阶乘结果中所有5的倍数产生的0，并利用循环性质快速求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

设f(n)表示n!的最后一位非0位

d(n)表示n!中不计算5的倍数时的结果,比如d(6)=1*2*3*4*1*6

m(n)表示d(n)最后一位，并且这一位一定不为0。

m(n)很特殊，因为他是循环的

除了n=1,其余都是按照6 2 6 4 4 4 8 4 6 6循环

小于10的n,f(n)可以直接算出来，以下讨论的都是n>=10的情况

接下来开始计算

=d(n)*5*10*15*...*(5*(n/5))=d(n) * 5^(n/5) * (n/5)!

=d(n)/2^(n/5) * 2^(n/5)*5^(n/5) * (n/5)!//由于2的倍数的数量大于5的倍数的数量,所以d(n)可以整除2^(n/5)

=d(n)/2^(n/5)*10^(n/5)*(n/5)!

所以

f(n)

=d(n)/2^(n/5)*10^(n/5)*(n/5)!的最后一位非0位

=d(n)/2^(n/5)*(n/5)!的最后一位非0位

由于2的倍数的数量大于5的倍数的数量,所以n!阶乘的最后一位非0位不是5

由于2的倍数的数量大于5的倍数的数量,所以d(n)/2^(n/5)是2的倍数，所以d(n)/2^(n/5)最后一位不是5

所以d(n)/2^(n/5)最后一位乘以(n/5)!最后一位非0位,结果不为0

所以f(n)等于 d(n)/2^(n/5)最后一位乘以(n/5)!最后一位非0位

由于2的倍数的数量大于5的倍数的数量d(n)在除以2^1,2^2...2^(n/5)过程中，始终是偶数

所以如果d(n)最后一位是2，则d(n)/2最后一位为6而不是1

同理

d(n)最后一位是6，则d(n)/2最后一位为8

d(n)最后一位是8，则d(n)/2最后一位为4

d(n)最后一位是4，则d(n)/2最后一位为2

这组成了一个循环

而d(n)的最后一位m(n)是循环的很容易算出来

所以d(n)/2^(n/5)最后一位也很容易算出来

设s(n)=d(n)/2^(n/5)最后一位

则f(n)=s(n)*f(n/5),n>10；

#include <iostream>
using namespace std;
const int mod[10]={6,2,6,4,4,4,8,4,6,6};//m()的循环
int small[10]={1,2,6,4,2,2,4,2,8,8};//small[i-1]=f(i),1<=i<=10 这是n比较小的时候值
int er[]={2,6,8,4};//d(n)/2^(n/5)最后一位的循环

int m(int n)
{
    if(n==1)
        return 1;
    else
        return mod[(n-1)%10];
}

int s(int n)
{
    int lastint=m(n);//d(n)最后一位
    int index;//lastint在d(n)/2^(n/5)最后一位的循环中的位置
    switch(lastint)
    {
        case 2:
            index=0;
            break;
        case 6:
            index=1;
            break;
        case 8:
            index=2;
            break;
        case 4:
            index=3;
            break;
    }
    return er[(index+n/5)%4];
}
int f(int n)
{
    if(n<=10)
            return small[n-1];//n<=10直接给出结果
    else
        return (s(n)*f(n/5))%10;
}


int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    cout<<f(n)<<endl;
    return 0;
}

做法2：因n！中末尾的0全都由因子2和5相乘得出，可预先测得n！中有多少个因子5，然后在后来的相乘过程中筛去即可。

#include<stdio.h>
#include <algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<deque>
#include<ctype.h>
#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<string>
#include<algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define FAST_IO ios::sync_with_stdio(false)
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int MAX=1e5+10;
const int mod=1e9+7;
typedef long long ll;
using namespace std;
#define gcd(a,b) __gcd(a,b)
inline ll lcm(ll a,ll b){return a/gcd(a,b)*b;}
inline ll qpow(ll a,ll b){ll r=1,t=a; while(b){if(b&1)r=(r*t)%mod;b>>=1;t=(t*t)%mod;}return r;}
inline ll inv1(ll b){return qpow(b,mod-2);}
inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(!b){x=1;y=0;return a;}ll r=exgcd(b,a%b,y,x);y-=(a/b)*x;return r;}
inline ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';return x*f;}


int main()
{
    int n;
    cin>>n;

    int k1=0,k2=0;
    for(int i=5;i<=n;i++)
    {
        int m=i;
        while(m%5==0)
        {
            m/=5;
            k2++;
        }
    }
    k1=k2;

    int ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int m=i;
        while(m%2==0 && k1)
        {
            m/=2;
            k1--;
        }
        while(m%5==0 && k2)
        {
            m/=5;
            k2--;
        }
        m%=10;
        ans=(ans*m)%10;
    }

    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}