数值计算利用Python实现快速傅里叶变换(FFT)(不调用函数库)

最新推荐文章于 2025-06-12 09:20:58 发布

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分类专栏：数值计算文章标签： python numpy 傅立叶分析

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/patchouli233/article/details/106313271

该博客介绍了如何在Python中不依赖函数库实现快速傅里叶变换(FFT)。首先，解释了离散傅里叶变换(DFT)的基本概念和公式，接着详细阐述了FFT算法，降低了计算复杂度。博客还提供了具体的代码实现，并给出了使用实例，例如在[−π,π]上对f(x)=x^2cosx进行16次三角插值多项式的FFT计算。" 112066581,10539879,决策树：优化选择与生活决策,"['机器学习', '决策树算法', '信息论', '数据挖掘', '分类问题']

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数值计算-利用Python实现快速傅里叶变换(FFT)(不调用函数库)

快速傅里叶变换介绍

首先介绍离散傅里叶变换（DFT），不管是正变换还是逆变换，计算公式可以归结为
$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk}$
其中, $N$ 为抽样点的个数(一般为 $2^n$ ), $x (n)$ 为已知数据（拟合函数时为节点函数值)， $WN=e−i2πnW_N=e^{-i\frac{2\pi}{n}}$ 为旋转因子。

而快速傅里叶变换（FFT），只是对DFT在算法上进行一定的幼化，降低复杂度，同样可以总结为一个公式:
$,NX(k)=\left\{ \begin{aligned} &\sum_{n=0}^{N/2-1}x_1(r)W_{N/2}^{rk}+W_N^{k}\sum_{n=0}^{N/2-1}x_2(r)W_{N/2}^{rk} \quad k=0,1,\cdots,\frac{N}{2}-1\\ &\sum_{n=0}^{N/2-1}x_1(r)W_{N/2}^{rk'}+W_N^{k'}\sum_{n=0}^{N/2-1}x_2(r)W_{N/2}^{rk'} \quad k=k'+\frac{N}{2}=\frac{N}{2},\frac{N}{2}+1,\cdots,N \end{aligned} \right.$