本文围绕线性代数中向量的相关知识展开。介绍了向量的基础知识，包括加法、数乘运算，以及线性组合的概念。还阐述了二维、三维向量的表示和运算，探讨了不同向量线性组合在三维空间中形成的图形，最后通过例题加深对向量线性组合的理解。
一、向量的基础知识
两个独立的数字 v1v_1v1 和 v2v_2v2，将它们配对可以产生一个二维向量 v\boldsymbol{v}v：列向量 vv=[v1v2]v1=v 的第一个分量v2=v 的第二个分量\textbf{列向量}\,\boldsymbol v\kern 10pt\boldsymbol v=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}\kern 10pt\begin{matrix}v_1=\boldsymbol v\,的第一个分量\\v_2=\boldsymbol v\,的第二个分量\end{matrix}列向量vv=[v1v2]v1=v的第一个分量v2=v的第二个分量这里将 v\boldsymbol vv 写成一列（column），而不是一行（row），单一的字母 v\boldsymbol vv（粗斜体字）表示这一对数字 v1v_1v1 与 v2v_2v2（浅色斜体字）。
向量的一个基础运算是向量的加法，即将两个向量的每个分量分别相加：向量加法v=[v1v2]与w=[w1w2]相加得到v+w=[v1+w1v2+w2]\textbf{向量加法}\kern 10pt\boldsymbol v=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}\kern 5pt与\kern 5pt\boldsymbol w=\begin{bmatrix}w_1\\w_2\end{bmatrix}\kern 5pt相加得到\kern5pt\boldsymbol v+\boldsymbol w=\begin{bmatrix}v_1+w_1\\v_2+w_2\end{bmatrix}向量加法v=[v1v2]与w=[w1w2]相加得到v+w=[v1+w1v2+w2]减法同理，v−w\boldsymbol v-\boldsymbol wv−w 的分量是 v1−w1v_1-w_1v1−w1 与 v2−w2v_2-w_2v2−w2。
向量的另一个基础运算是数乘（scalar multiplication），一个向量可以和任意数 ccc 相乘，就是用 ccc 去乘这个向量的每个分量：数乘2v=[2v12v2]=v+v，−v=[−v1−v2]\textbf{数乘}\kern 10pt2\boldsymbol v=\begin{bmatrix}2v_1\\2v_2\end{bmatrix}=\boldsymbol v+\boldsymbol v，-\boldsymbol v=\begin{bmatrix}-v_1\\-v_2\end{bmatrix}数乘2v=[2v12v2]=v+v，−v=[−v1−v2]cvc\boldsymbol vcv 的分量是 cv1cv_1cv1 与 cv2cv_2cv2，数字 ccc 称为 “数量”（或纯量 scalar）。
需要注意的是：−v-\boldsymbol v−v 与 v\boldsymbol vv 的和（sum）是零向量，以粗体 0\boldsymbol 00 表示，与一般的数字 000 不同，向量 0\boldsymbol 00 的分量是 000 与 000。
线性代数就是建立在 v+w\boldsymbol v+\boldsymbol wv+w 与 cvc\boldsymbol vcv 与 dwd\boldsymbol wdw 的运算 —— 向量的加法与数乘。
二、线性组合
将向量的加法与数乘相结合可以产生 v\boldsymbol vv 与 w\boldsymbol ww 的 “线性组合”。用 ccc 乘 v\boldsymbol vv 与 ddd 乘 w\boldsymbol ww，然后相加得到 cv+dwc\boldsymbol v+d\boldsymbol wcv+dw。
cv 与 dw 的和是线性组合 cv+dwc\boldsymbol v\,与\,d\boldsymbol w\,的和是\kern 10pt\colorbox{cyan}{$线性组合\,\ c\boldsymbol v+d\boldsymbol w$}cv与dw的和是线性组合 cv+dw
四种特殊的线性组合：和、差、零、数乘 cvc\boldsymbol vcv：
1v+1w=向量的和，如图1.1a1\boldsymbol v+1\boldsymbol w=向量的和，如图1.1a1v+1w=向量的和，如图1.1a1v−1w=向量的差，如图1.1b1\boldsymbol v-1\boldsymbol w=向量的差，如图1.1b1v−1w=向量的差，如图1.1b0v+0w=零向量0\boldsymbol v+0\boldsymbol w=\textbf{零向量}\kern 56pt0v+0w=零向量cv+0w=沿着 v方向的向量 cvc\boldsymbol v+0\boldsymbol w=沿着\,\boldsymbol v 方向的向量\,c\boldsymbol vcv+0w=沿着v方向的向量cv零向量永远是可能的组合（只要系数都为零），向量的 “空间” 都包含零向量。从大局上看，线性代数的工作就是取得 v\boldsymbol vv 和 w\boldsymbol ww 所有的线性组合。
对于代数来说，我们只需要向量的分量（如 444 和 222）。向量也可以画在图形上，向量 v\boldsymbol vv 由箭头表示，箭头向右横跨 v1=4v_1=4v1=4 个单位，再往上走 v2=2v_2=2v2=2 个单位，终点的坐标等于 (4,2)(4,2)(4,2)。这个点就是向量的另外一种表示法。向量 v\boldsymbol vv 可以用三种方式来描述：
向量 v 的表示法两个数字 由(0,0)出发的箭头 平面上的点向量\,\boldsymbol v\,的表示法\kern 10pt\colorbox{cyan}{两个数字}\,\,\colorbox{cyan}{由$(0,0)$出发的箭头}\,\,\colorbox{cyan}{平面上的点}向量v的表示法两个数字由(0,0)出发的箭头平面上的点
我们用数字做加法，用箭头可视化 v+w\boldsymbol v+\boldsymbol wv+w：
先沿着 v\boldsymbol vv 再沿着 w\boldsymbol ww 前进，或者沿着 v+w\boldsymbol v+\boldsymbol wv+w 走对角线；也可以先沿着 w\boldsymbol ww 再沿着 v\boldsymbol vv。换言之，w+v\boldsymbol w+\boldsymbol vw+v 与 v+w\boldsymbol v+\boldsymbol wv+w 的答案相同。沿着平行四边形（本例是矩形）存在不同的前进方向。
三、三维向量
有两个分量的向量对应到 xyxyxy 平面上的一个点，v\boldsymbol vv 的分量就是点的坐标：x=v1x=v_1x=v1，y=v2y=v_2y=v2。向量从 (0,0)(0,0)(0,0) 出发，箭头在 (v1，v2)(v_1，v_2)(v1，v2) 结束。
如果向量有三个分量，那么就对应三维的 xyzxyzxyz 空间中的一点。下面的列向量就有三个分量：v=[11−1]，w=[234]，v+w=[343]\boldsymbol v=\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}，\boldsymbol w=\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}，\boldsymbol v+\boldsymbol w=\begin{bmatrix}3\\4\\3\end{bmatrix}v=11−1，w=234，v+w=343向量 v\boldsymbol vv 对应到三维空间的一个箭头，通常由原点出发，原点即 xyzxyzxyz 轴的交点，其坐标为 (0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)，箭头的终点坐标是 v1v_1v1，v2v_2v2，v3v_3v3。三维向量同样有三种表示方式：列向量，原点出发的箭头与箭头的终点（空间中一点）。
注意，平面向量 (x,y)(x,y)(x,y) 与三维空间的 (x,y,0)(x,y,0)(x,y,0) 是不同的。
v=[11−1] 也可以写成 v=(1,1,−1)\boldsymbol v=\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\,\,也可以写成\,\,\boldsymbol v=(1,1,-1)v=11−1也可以写成v=(1,1,−1)
写成行形式（在括号中）是为了节省空间，但是 v=(1,1,−1)\boldsymbol v=(1,1,-1)v=(1,1,−1) 不是行向量！它仍是列向量，与行向量 [11 −1][1\kern 6pt1\,-1][11−1] 是不同的，尽管它们都具有三个分量。这里 1×31\times31×3 的行向量是 3×13\times13×1 的列向量 v\boldsymbol vv 的 “转置”（transpose）。
三维空间中，v+w\boldsymbol v+\boldsymbol wv+w 仍然是每次计算一个分量，向量的和的分量是 v1+w1v_1+w_1v1+w1，v2+w2v_2+w_2v2+w2 和 v3+w3v_3+w_3v3+w3，同理可以推出 444 维直至 nnn 维空间中向量的加法。当 w\boldsymbol ww 从 v\boldsymbol vv 的终点出发，则第三边为 v+w\boldsymbol v+\boldsymbol wv+w，平行四边形的另一个环绕方向是 w+v\boldsymbol w+\boldsymbol vw+v。这四个边是在同一平面的，向量的和 v+w−v−w\boldsymbol v+\boldsymbol w-\boldsymbol v-\boldsymbol wv+w−v−w 走完一圈产生零向量。
三维空间三个向量的线性组合，u+4v−2w\boldsymbol u+4\boldsymbol v-2\boldsymbol wu+4v−2w：分别用 111，444，−2-2−2 乘三个向量再相加的线性组合[103]+4[121]−2[23−1]=[129]\begin{bmatrix}1\\0\\3\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}2\\3\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\9\end{bmatrix}103+4121−223−1=129
四、重要问题
一个向量 u\boldsymbol uu，唯一的线性组合是 cuc\boldsymbol ucu。对于两个向量，线性组合是 cu+dvc\boldsymbol u+d\boldsymbol vcu+dv。对于三个向量，线性组合是 cu+dv+ewc\boldsymbol u+d\boldsymbol v+e\boldsymbol wcu+dv+ew。对于每个 ccc、ddd、eee，假设 u\boldsymbol uu，v\boldsymbol vv，w\boldsymbol ww 是三维空间中的向量：
（1）所有 cuc\boldsymbol ucu 的组合，图形是什么？
（2）所有 cu+dvc\boldsymbol u+d\boldsymbol vcu+dv 的组合，图形是什么？
（3）所有 cu+dv+ewc\boldsymbol u+d\boldsymbol v+e\boldsymbol wcu+dv+ew 的组合，图形是什么？
上述的答案都与 u\boldsymbol uu、v\boldsymbol vv、w\boldsymbol ww 有关，若它们均为零向量，所有的线性组合都是零。如果它们都是典型的非零向量（随机选定分量，即它们两两不平行，三个向量不共面）：
（1）所有 cuc\boldsymbol ucu 的组合形成一条过原点（0,0,0）的直线。
（2）所有的 cu+dvc\boldsymbol u+d\boldsymbol vcu+dv 的组合形成一个 过（0,0,0）的平面。
（3）所有的 cu+dv+ewc\boldsymbol u+d\boldsymbol v+e\boldsymbol wcu+dv+ew 的组合形成三维空间。
因为当 ccc 为 000 时，零向量 (0,0,0)(0,0,0)(0,0,0) 会在直线上；当 ccc 与 ddd 都为 000 时，零向量会在平面上。向量 cuc\boldsymbol ucu 形成的直线是无限长（正向与反向）的，三维空间中两个向量的组合，全部 cu+dvc\boldsymbol u+d\boldsymbol vcu+dv 会形成三维空间内一个平面，且过原点；一条直线上的所有 cuc\boldsymbol ucu 加上另一条直线上的所有 dvd\boldsymbol vdv 就会形成 Figure1.3 所示的平面。
当引入第三个向量 w\boldsymbol ww 时，所有的 ewe\boldsymbol wew 会得到第三条直线。假设第三条直线不在 u\boldsymbol uu 与 v\boldsymbol vv 形成的平面上，则 ewe\boldsymbol wew 与 cu+dvc\boldsymbol u+d\boldsymbol vcu+dv 的组合可以形成整个三维空间。
典型情况下，我们会得到线、面、然后空间，但是还会有其它可能的情况。若 w\boldsymbol ww 正好等于 cu+dvc\boldsymbol u+d\boldsymbol vcu+dv 时，即第三个向量 w\boldsymbol ww 在前两个向量所形成的平面上，那么 u\boldsymbol uu，v\boldsymbol vv，w\boldsymbol ww 的组合仍然会在 uv\boldsymbol{uv}uv 平面内，也就不能得到整个三维空间。
五、主要内容总结
（1）二维空间的向量 v\boldsymbol vv 由两个分量 v1v_1v1 和 v2v_2v2。
（2）v+w=(v1+w1,v2+w2)\boldsymbol v+\boldsymbol w=(v_1+w_1,v_2+w_2)v+w=(v1+w1,v2+w2)，cv=(cv1,cv2)c\boldsymbol v=(cv_1,cv_2)cv=(cv1,cv2)，每次计算一个分量。
（3）三个向量 u\boldsymbol uu，v\boldsymbol vv，w\boldsymbol ww 的线性组合是 cu+dv+ewc\boldsymbol u+d\boldsymbol v+e\boldsymbol wcu+dv+ew。
（4）选取所有的 u\boldsymbol uu 或 u\boldsymbol uu，v\boldsymbol vv 或 u\boldsymbol uu，v\boldsymbol vv，w\boldsymbol ww 的线性组合，在三维空间中，典型情况下，会形成一条直线或一个平面或整个空间 R3\textbf R^3R3。
六、例题
【例1】v=(1,1,0)\boldsymbol v=(1,1,0)v=(1,1,0) 和 w=(0,1,1)\boldsymbol w=(0,1,1)w=(0,1,1) 的线性组合会形成 R3\textbf R^3R3 中的一个平面，描述这个平面，并找到一个不是 v\boldsymbol vv 与 w\boldsymbol ww 线性组合的向量，即不在该平面上的向量。
解： v\boldsymbol vv 与 w\boldsymbol ww 所形成的平面包含所有的组合 cv+dwc\boldsymbol v+d\boldsymbol wcv+dw，该平面上的向量允许任意和 ccc 和 ddd。线性组合cv+dw=c[110]+d[011]=[cc+dd]形成一个平面线性组合\kern 3ptc\boldsymbol v+d\boldsymbol w=c\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\c+d\\d\end{bmatrix}\kern 3pt形成一个平面线性组合cv+dw=c110+d011=cc+dd形成一个平面可以发现其第二分量 c+dc+dc+d 为第一分量与第三分量之和。(1,2,3)(1,2,3)(1,2,3) 即不在这个平面上，这是因为 2≠1+32\neq1+32=1+3。
【例2】v=(1,0)\boldsymbol v=(1,0)v=(1,0) 与 w=(0,1)\boldsymbol w=(0,1)w=(0,1)，描述所有的 cvc\boldsymbol vcv 点。
（1）当 ccc 为任意整数时；
（2）当 ccc 非负数时，c≥0c\geq0c≥0。
再将（1）（2）得到的 cvc\boldsymbol vcv 加上所有的 dwd\boldsymbol wdw，描述所有的 cv+dwc\boldsymbol v+d\boldsymbol wcv+dw。
解：（1）当 ccc 为任意整数时，向量 cv=(c,0)c\boldsymbol v=(c,0)cv=(c,0) 是沿着 xxx 轴（v\boldsymbol vv 的方向）的等距点，包含 (−2,0)(-2,0)(−2,0)，(−1,0)(-1,0)(−1,0)，(0,0)(0,0)(0,0)，(1,0)(1,0)(1,0)，(2,0)(2,0)(2,0)。
（2）当 c≥0c\geq0c≥0 时，向量 cvc\boldsymbol vcv 形成一条半线，即 xxx 正半轴。这条线从 (0,0)(0,0)(0,0) 开始，此时 c=0c=0c=0。包含点 (100,0)(100,0)(100,0) 与 (π,0)(π,0)(π,0)，但不包含 (−100,0)(-100,0)(−100,0)。
（1’）加上所有的向量 dw=(0,d)d\boldsymbol w=(0,d)dw=(0,d)，会在这些等距点 cvc\boldsymbol vcv 上放置一条垂直（vertical）线，将会得到无数条（全部整数 ccc，任意的 ddd）平行线。
（2’）加上所有的向量 dw=(0,d)d\boldsymbol w=(0,d)dw=(0,d)，会在半线上的每一个 cvc\boldsymbol vcv 上放置一条垂直线，将会得到一个半平面，xyxyxy 平面的右半部分包括任意的 x≥0x\geq0x≥0 和任意的 yyy。
【例3】求出 ccc 和 ddd 的两个方程，使得线性组合 cv+dw=bc\boldsymbol v+d\boldsymbol w=\boldsymbol bcv+dw=b：v=[2−1]，w=[−12]，b=[10]\boldsymbol v=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}，\boldsymbol w=\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}，\boldsymbol b=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}v=[2−1]，w=[−12]，b=[10]
解： 在应用数学中，很多问题都有两个部分：
- 建模（modeling）部分：利用一些方程式来表述问题。
- 计算（computational）部分：利用快速且正确的算法求解方程组。
这里仅讨论第一部分，使用方程组表示。这里可以使用一个线性代数的基础模型：求 n 个数值 c1,⋯ ,cn，使得 c1v+⋯cnvn=b求\,n\,个数值\,c_1,\cdots,c_n，使得\,\,c_1\boldsymbol v+\cdots c_n\boldsymbol v_n=\boldsymbol b求n个数值c1,⋯,cn，使得c1v+⋯cnvn=b当 n=2n=2n=2 时即为此例题的模型。向量方程式cv+dwc[2−1]+d[−12]=[10]向量方程式 \kern 4ptc\boldsymbol v+d\boldsymbol w\kern 10ptc\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}向量方程式cv+dwc[2−1]+d[−12]=[10]可以得到两个一般方程式：{2c−d=1−c+2d=1\left\{\begin{matrix}2c-d=1\\-c+2d=1\end{matrix}\right.{2c−d=1−c+2d=1每个方程式产生一条直线，两条直线相交可以解得 c=2/3c=2/3c=2/3，d=1/3d=1/3d=1/3。
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