贪心算法笔记

思想

贪心算法（Greedy Algorithm）在对问题求解时，不从整体最优上加以考虑，而是做出在当前看来最好的选择。贪心算法预设了一个前提，就是认为全局最优解可以由局部最优解推出。

贪心算法的最直接的特点——“贪婪”

把求解的问题分成子问题；
对每个子问题求解，都应用最优原则选择，得到子问题的局部最优解；
把子问题的解局部最优解合成原来求解问题的一个解。

贪心算法不断的贪心的做出当前最优的选择。贪心算法不追求最优解，只找到满意解。

贪心算法是分阶段执行的，每一个阶段都根据当前的情况来判断，应用最优原则选择，而不考虑后续的发展整体的情况。

根据这样的性质，要求贪心法解决的问题具有“无后效性”——当前的决策不会影响到后续的决策，如果问题前后勾连紧密的话，会造成求解过程十分混乱。

贪心算法常常用于组合优化问题，它的求解过程是多步判断的过程。

如果一个待求解的问题具有以上的特征，可以使用贪心算法解决。

贪心法与其他相似算法

贪心法和分治法、动态规划一样，都需要对问题分解，定义最优的子结构。但是，贪心法与其他方法最大的区别在于，贪心法每一步选择完之后，局部最优解就确定了，不再回溯复盘，每个步骤的最优解确定后，就不再修改，直到算法结束。因为不做回溯处理，贪心法只在很少情况下可以得到真正的最优解，比如最短路径问题、图的最小生成树问题。

应用场景

贪心算法不一定得到整体的最优解，但最终结果也接近最优解。一些情况下，我们不必过分要求使用贪心算法得到最优解，也没有必要严格推理证明，使用贪心算法是一种不错的选择。实际应用中许多问题可以使用贪心算法得到最优解。

贪心算法能求出最优解的条件

贪心选择性质

贪心选择性质（greedy choice property）：全局最优解可以由一系列局部最优解推出。

贪心选择性质是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。

贪心选择是采用从顶向下、以迭代的方法做出相继选择，每做一次贪心选择就将所求问题简化为一个规模更小的子问题。

对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择的性质，我们必须证明每一步所作的贪心选择最终能得到问题的最优解。用数学归纳法证明，通过每一步贪心选择，最终可得到问题的一个整体最优解。

最优子结构

最优子结构（optimal substructure）：当问题的最优解可以由子问题的最优解构成，那么该问题就具备最优子结构性质。

问题是否具备最优子结构性质，是问题是否可用贪心算法或动态规划算法求解的关键特征。

在子结构性质上与动态规划的区别

贪心算法的每一次操作都对结果产生直接影响，而动态规划不是。

贪心算法对每个子问题的解决方案都做出选择，不能回退；

动态规划则会根据以前的选择结果对当前进行选择，有回退功能。

动态规划主要运用于二维或三维问题，而贪心一般是一维问题。

贪婪算法的条件

要判断一个问题是否可以通过贪心算法得到最优解，是一件比较难的事情。这需要复杂而严格的数学证明。因此，虽然贪心算法简单容易实现，并且效率很高，但是使用贪心算法之前，必须对问题本身进行深入而透彻地分析证明，以保证使用贪心算法得到最优解。

特点

贪心算法的最直接的特点——“贪婪”

优点

直观、易懂，实现简单。算法一旦做出决定，就不去检查前面计算过的值。

如果一个问题的最优解只能用蛮力法穷举得到，则贪心法不失为寻找问题近似最优解的一种较好的方法。

缺点

局限性

对于很多问题，不能保证解是最佳的。因为贪心算法总是从局部出发，并没从整体考虑。
贪心算法不能保证最后求得的解是最优的；
贪心算法只能求满足某些约束条件的可行解的范围。

跳跃问题

55. 跳跃游戏
给定一个非负整数数组nums，你最初位于数组的 第一个下标 。

数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。

判断你是否能够到达最后一个下标。

输入：nums = [2,3,1,1,4]
输出：true
解释：可以先跳 1 步，从下标 0 到达下标 1, 然后再从下标 1 跳 3 步到达最后一个下标。

输入：nums = [3,2,1,0,4]
输出：false
解释：无论怎样，总会到达下标为 3 的位置。但该下标的最大跳跃长度是 0 ， 所以永远不可能到达最后一个下标。

解：

class Solution {
public:
    bool canJump(vector<int>& nums) {
        vector<int> jump;
        for(int i = 0 ; i< nums.size() ; ++i){
            jump.push_back(i+ nums[i]);
        }
        int nindex = 0;
        int max_jump = jump[0];
        while(nindex < nums.size() && nindex <= max_jump){
            if(max_jump < jump[nindex]){
                max_jump = jump[nindex];
            }
            nindex ++ ;
        }
        if(nindex == nums.size())
            return  true;
        else
            return  false;
        
    }
};

class Solution {
public:
    bool canJump(vector<int>& nums) {
        int len = nums.size();
        if (len <= 1)
             return true;

        int maxDis = nums[0];

        for (int i = 1; i < len - 1; i++) {
            if (i <= maxDis) {
                maxDis = max(maxDis, nums[i]+i);
            }
        }

        return maxDis >= len - 1;
        
    }
};

2、跳跃游戏 II
给定一个正整数数组，你最初位于数组的第一个位置。
数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。
你的目标是使用最少的跳跃次数到达数组的最后一个位置。
示例 :

输入: [2,3,1,1,4]
输出: 2
解释: 跳到最后一个位置的最小跳跃数是 2。
从下标为 0 跳到下标为 1 的位置，跳 1 步，然后跳 3 步到达数组的最后一个位置。

说明:
假设你总是可以到达数组的最后一个位置。