26、多项式态射、三次方程系统与实二次域基础设施中的密钥协议

多项式态射、三次方程系统与实二次域基础设施中的密钥协议

多项式态射与三次方程系统相关问题

在二次型的情况下，我们来探讨 IP 和 MP 问题。设 $u$ 和 $n$ 为两个整数，在 $F_q$ 上，考虑一组公开的二次方程集合 (A)：
[
(A) \quad c_k = \sum_{1\leq i\leq n, 1\leq j\leq n} \gamma_{kij} a_i a_j + \sum_{i = 1}^{n} \mu_{ki} a_i + \delta_k, \quad 1 \leq k \leq u
]

设 $S$ 是变量 $a_i$（$1 \leq i \leq n$）的双射仿射变换，$T$ 是变量 $c_k$（$1 \leq k \leq u$）的双射仿射变换，即 $S(a_1, \ldots, a_n) = (x_1, \ldots, x_n)$ 且 $T(c_1, \ldots, c_u) = (z_1, \ldots, z_u)$。从 (A) 可得到另一组 $u$ 个方程 (B)：
[
(B) \quad z_t = \sum_{1\leq i\leq n, 1\leq j\leq n} \alpha_{tij} x_i x_j + \sum_{i = 1}^{n} \beta_{ti} x_i + \omega_t, \quad 1 \leq t \leq u
]

我们称 $(S, T)$ 是从 (A) 到 (B) 的同构，且 (A) 和 (B) 是同构的。

IP（多项式同构）问题是：若 (A) 和 (B) 是两组公开的 $u$ 个二次方程，找到从 (A) 到 (B) 的同构