17、基于格的分层内积谓词加密（Lattice - Based HIPE）技术解析

基于格的分层内积谓词加密（Lattice - Based HIPE）技术解析

1. 正确性分析

在分层格式 $\mu = (\ell, d; \mu_1, \ldots, \mu_d)$ 下，为保证解密的正确性，对参数 $q$ 和 $\alpha_t$（$t \in [d]$）有特定要求。当满足 $q / \log q = \Omega(\sigma_t \cdot \mu \cdot \sqrt{\log r} \cdot m^{3/2})$ 且 $\alpha_t \leq (t \cdot \log q \cdot \sigma_t \cdot \mu \cdot \sqrt{\log r} \cdot m \cdot \omega(\sqrt{\log m}))^{-1}$（其中 $\mu = \max_{i \in [d]} \mu_i$）时，对于向量 $v = (v_1, \ldots, v_t)$ 和 $w = (w_1, \ldots, w_h)$，若 $f_v(w) = 1$，即对于每个 $i \in [t]$ 都有 $\langle v_i, w_i \rangle = 0 \pmod{q}$，则以压倒性概率有 $m’ = m$。

解密过程如下：
1. 定义 $\hat{A} i = \left(\sum {j \in [\mu]} \sum_{\gamma = 0}^{k} v_{i,j,\gamma} A_{i,j,\gamma}\right)$ 和 $\hat{R} i = \sum {j \in [\mu]} \sum_{\gamma = 0}^{k} v_{i,j,\gamma} R_{i,j,\gamma}^{\t