23、配对与信用转移：密码学与市场基础设施的关键技术

配对与信用转移：密码学与市场基础设施的关键技术

配对与基于身份的密码学基础

在基于身份的密码学领域，Boneh和Franklin提出的系统使用了两个群中的离散对数问题。为了简化表示，假设第一个群是加法群，第二个群是乘法群。

定义双线性映射或配对：设$G_1$和$G_2$是两个素数阶$\ell$的循环群，映射$\hat{e}: G_1 × G_1 → G_2$，对于任意整数$a$，$b$，满足$\hat{e}(aP, bQ) = (\hat{e}(P, Q))^{ab}$，则称$\hat{e}$为双线性映射或配对。并且假设该配对是非退化的，即至少存在一对$P$，$Q \in G_1$，使得$\hat{e}(P, Q) \neq 1$，这意味着$\hat{e}(P, Q)$生成$G_2$。同时，假设在$G_1$和$G_2$中离散对数问题是困难的。

构建基于身份的系统，需要一个哈希函数$H$将身份字符串映射到$G_1$的元素，以及一个密钥派生函数$K$。在Boneh和Franklin的方案中，私钥生成机构TA首先秘密选择主密钥$s < \ell$，然后发布$P_{TA} = sP$作为公共主密钥以及基点$P$。用户ID2的公钥为$H(ID2) \in G_1$，并从TA处获得私钥$sH(ID2)$，且此操作仅进行一次。

若用户ID1要向用户ID2发送消息$m$，操作步骤如下：
1. 选择一个随机数$r$，计算$rP$和$k = \hat{e}(P_{TA}, H(ID2))^r$。
2. 使用密钥派生函数和对称加密，在从$k$派生的密钥下将$m$加密为$c$。密文由$rP$和$c$组成。
3. 用户ID2使用私钥$sH(ID2)$