29、新型复合运算与预计算方案解析

新型复合运算与预计算方案解析

1. 复合运算计算方法

在计算形如 (dP + Q) 的复合运算时，我们提出了如下策略：
[dP + Q = P + \cdots + P + P + (P + Q)]
其中 (d) 是一个大于等于 2 的小整数，(P) 是 (J) 中的点，(Q) 是 (E(F_p)) 上 (A) 中的点。

若直接使用混合加法和一般加法来计算该策略，会导致较高的成本。但实际上，只有括号内的第一次加法需要使用混合加法，后续的每次额外加法都可以使用特殊加法公式 (3) 来计算。

首先，我们使用混合雅可比 - 仿射加法来计算 (P + Q = (X_1, Y_1, Z_1) + (X_2, Y_2) = (X_3, Y_3, Z_3))，公式如下：
[
\begin{align }
X_3 &= 4(Z_1^3Y_2 - Y_1)^2 - 4(Z_1^2X_2 - X_1)^3 - 8X_1(Z_1^2X_2 - X_1)^2\
Y_3 &= 2(Z_1^3Y_2 - Y_1)(4X_1(Z_1^2X_2 - X_1)^2 - X_3) - 8Y_1(Z_1^2X_2 - X_1)^3\
Z_3 &= 2Z_1(Z_1^2X_2 - X_1) = (Z_1 + Z_1^2X_2 - X_1)^2 - Z_1^2 - (Z_1^2X_2 - X_1)^2
\end{align }
]

从上述公式可以观察到，如果我们为 (P) 假设一个新的表示形式：
[(X_1^{(1)}, Y_1^{(1)}, Z_1^{(1