48、抗空间受限泄漏的密钥演化方案中的红黑石子游戏解析

抗空间受限泄漏的密钥演化方案中的红黑石子游戏解析

1. 红黑石子游戏介绍

在N - 塔图 $G = (V, E)$ 上，我们将探讨一种名为“红黑”石子游戏的变体。图 $G$ 的每个顶点可以为空，也可以包含一个红色石子、一个黑色石子，或者同时包含这两种石子。具体而言，如果 $G$ 是塔图，那么图 $G$ 上的石子配置是一个函数 $\gamma : V \to P({\text{red}, \text{black}})$。我们定义 $\text{Red}(\gamma) := {v : \text{red} \in \gamma(v)}$，$\text{Black}(\gamma) := {v : \text{black} \in \gamma(v)}$。若 $V’ \subseteq V$，则定义 $\text{proj}(V’) := (|V’ \cap V_1|, \dots, |V’ \cap V_t|)$。

对于集合 $V’ \subseteq V$，其闭包 $[V’]$ 递归定义如下：
- 若 $v \in V’$，则 $v \in [V’]$；
- 若 $v’$ 的所有子节点都在 $[V’]$ 中，则 $v’ \in [V’]$。

初始配置 $\gamma_1$ 是在图 $G$ 的每个输入顶点上仅放置一个黑色石子。游戏按步骤进行，在第 $i$ 步，配置 $\gamma_i$ 通过以下四种操作之一转换为 $\gamma_{i + 1}$：
1. 可以在任何已经包含黑色石子的顶点上放置一个红色石子。
2. 如果顶点 $v$ 的两个子节点都有红色石子，则可以在 $v$ 上放置一个红色石子。
3. 如果 $v$ 的两个子节点都有