17、近似方法工具包：滑块与雅可比投影技术解析

近似方法工具包：滑块与雅可比投影技术解析

1. 滑块技术基础

在近似计算中，我们可以为函数 (g_1) 构建近似对象，如切比雪夫多项式（CT）。这里 (g_1) 的维度可以在 1 到 (n) 之间。若近似对象受维度诅咒影响（如 CT），选择 3 维或更低维度能让构建过程更简单。

按照特定方式为 (g_1) 构建的近似对象被称为滑块（slide）。如果近似对象是 CT，那就是切比雪夫滑块（Chebyshev slide）；若是深度神经网络（DNN），则是 DNN 滑块。

1.1 切比雪夫滑块（Chebyshev Slider）

为便于说明，后续假设滑块均为切比雪夫滑块，不过相关论点对其他类型近似对象同样适用。

切比雪夫滑块是一组用于近似函数 (f) 的滑块集合，需满足两个条件：
- 函数 (f) 定义域中的每个变量仅属于一个滑块的定义域。
- 所有滑块共享同一个枢轴点 (z)。

假设为 (f) 构建了 (k) 个滑块 ({s_1, s_2, \ldots, s_k})，那么这些滑块维度之和 (dim(s_1) + \cdots + dim(s_k)) 等于 (n)，也就是函数 (f) 输入定义域的维度。

由于切比雪夫滑块由 CT 组成，构建滑块就至少要构建一个 CT（这里是 (k) 个）。若有 (k) 个滑块，每个滑块有 (l_i) 个切比雪夫点用于评估 (f)，那么构建滑块所需的总评估次数就是 (l_1 + \cdots + l_k)。通常滑块为 1 维、2 维或 3 维，最多只需几十个点，所以滑块的总点数比 (n) 维网格少很多，从而避免了维度诅咒问题。