ACM算法题第三周

第一题：

给出正整数 nn，要求按如下方式构造数列：

1. 只有一个数字 n 的数列是一个合法的数列。
2. 在一个合法的数列的末尾加入一个正整数，但是这个正整数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列。

请你求出，一共有多少个合法的数列。两个合法数列 a,b 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 i≤∣a∣，使得ai​！=bi​。

输入格式

输入只有一行一个整数，表示 n。

输出格式

输出一行一个整数，表示合法的数列个数。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[1005];
int main(){
    cin>>n;
    a[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(i%2==0){
            a[i]=a[i-1]+a[i/2];
        }else{
            a[i]=a[i-1];
        }
    }
    cout<<a[n];
    return 0;
}

思路：根据整出发现，每一个偶数和大于它的奇数的答案相同，因此将数据从零开始计算，01、23、45依次分组。因为第二位小于第一位除二，因此偶数项的答案为其前一项加上偶数除以二的答案之和，根据递推可以求出规律。

第二题：

有 N 级台阶，你一开始在底部，每次可以向上迈1∼K 级台阶，问到达第 N 级台阶有多少种不同方式。

输入格式

两个正整数 N,k。

输出格式

一个正整数 ans(mod100003)，为到达第 N 级台阶的不同方式数。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k;
int a[100005];
int main(){
    cin>>n>>k;
    a[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=min(i,k);j++){
            a[i]=(a[i]+a[i-j])%100003;
        }
    }
    cout<<a[n];
    return 0;
} 

思路：题目中可以一次性上1~k级台阶，因此到达第i级台阶的方法为i-1~i-k的方法的总和，当i>k时符合；

若i<k，则直接计算i-j到i-1的方法总和

第三题：

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，1,2,…,n（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 n。

现在可以进行两种操作，

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的 nn，计算并输出由操作数序列 1,2,…,n 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入格式

输入文件只含一个整数 n（1≤n≤18）。

输出格式

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
long long a[20];
int main(){
    cin>>n;
    a[0]=a[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=i;j++){
            a[i]=a[i]+a[j]*a[i-j-1];
        }
    }
    cout<<a[n];
    return 0;
}

思路：本题共n个数，假设k最后出栈，因此有k-1个数在k出栈前出栈，为f（k-1),k之后有n-k个数在k之前出栈，为f（n-k），所以k最后一个出栈的方法有f(k-1)*f(n-k)种

第四题：

为了准备一个独特的颁奖典礼，组织者在会场的一片矩形区域（可看做是平面直角坐标系的第一象限）铺上一些矩形地毯。一共有 n张地毯，编号从 1 到 n。现在将这些地毯按照编号从小到大的顺序平行于坐标轴先后铺设，后铺的地毯覆盖在前面已经铺好的地毯之上。

地毯铺设完成后，组织者想知道覆盖地面某个点的最上面的那张地毯的编号。注意：在矩形地毯边界和四个顶点上的点也算被地毯覆盖。

输入格式

输入共 n+2 行。

第一行，一个整数 n，表示总共有 n 张地毯。

接下来的 n 行中，第 i+1 行表示编号 i 的地毯的信息，包含四个整数 a ,b ,g ,k，每两个整数之间用一个空格隔开，分别表示铺设地毯的左下角的坐标 (a, b) 以及地毯在 x轴和 y轴方向的长度。

第 n + 2 行包含两个整数 x 和 y，表示所求的地面的点的坐标 (x, y)。

输出格式

输出共 1行，一个整数，表示所求的地毯的编号；若此处没有被地毯覆盖则输出 -1。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,x,y,m;
struct a{
    int a,b,c,d,e,f,g;
}c[10005];
bool cmp(a x,a y){
    return x.e<y.e;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>c[i].a>>c[i].b>>c[i].c>>c[i].d;
        c[i].f=c[i].a+c[i].c;
        c[i].g=c[i].b+c[i].d;
    }
    cin>>x>>y;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(x>=c[i].a&&x<=c[i].f&&y>=c[i].b&&y<=c[i].g){
            c[i].e=i;
            m++;
        }
    }
    if(m>=1){
        sort(c+1,c+1+n,cmp);
    cout<<c[n].e;
    }else{
        cout<<-1;
    }
    return 0;
}

思路：

本题根据每一组数据的坐标以及长宽，可以计算出覆盖范围，在设置一个数值来判断最上层即可。