C++枚举算法详解

一、枚举算法核心思想

枚举算法是一种通过遍历所有可能情况来解决问题的暴力搜索方法，其核心特点是：

1. 全面性：不遗漏任何可能性

2. 简单性：逻辑直接易实现

3. 低效性：时间复杂度通常较高（O(n^k)）

适用场景：问题规模有限且可穷举的情况（如数值范围小、维度低）

二、经典案例：福尔摩斯密码破解

问题描述

ABCDE 
× ? 
= EDCBA
其中A,E,?∈[1,9]，B,C,D∈[0,9]
所有字符互不相同

算法实现（6层嵌套循环）

for(int A=1; A<10; A++) {
    for(int B=0; B<10; B++) {
        for(int C=0; C<10; C++) {
            for(int D=0; D<10; D++) {
                for(int E=1; E<10; E++) {
                    for(int x=1; x<10; x++) {
                        // 条件1：所有字符互不相同
                        if(A!=B && A!=C && A!=D && A!=E && A!=x &&
                           B!=C && B!=D && B!=E && B!=x &&
                           C!=D && C!=E && C!=x &&
                           D!=E && D!=x && E!=x) {
                            // 条件2：验证等式
                            int ABCDE = A*10000 + B*1000 + C*100 + D*10 + E;
                            int EDCBA = E*10000 + D*1000 + C*100 + B*10 + A;
                            if(ABCDE * x == EDCBA) {
                                cout << ABCDE << " × " << x 
                                     << " = " << EDCBA << endl;
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
}

关键优化点

1. 剪枝策略：当发现A=B时直接跳过后续循环

2. 变量范围控制：A/E/x的取值限定在[1,9]

3. 提前终止：找到第一个解后立即退出（视需求决定）

三、算法性能分析

• 时间复杂度：O(9×10×10×10×9×9) ≈ 7,290,000次循环

• 空间复杂度：O(1)（仅使用基本变量）

• 实际测试：现代计算机可在0.1秒内完成

四、应用拓展：珠心算测验问题

问题描述

珠心算是一种通过在脑中模拟算盘变化来完成快速运算的一种计算技术。珠心算训练，既能够开发智力，又能够为日常生活带来很多便利，因而在很多学校得到普及。

某学校的珠心算老师采用一种快速考察珠心算加法能力的测验方法。他随机生成一个正整数集合，集合中的数各不相同，然后要求学生回答：其中有多少个数，恰好等于集合中另外两个（不同的）数之和？

最近老师出了一些测验题，请你帮忙求出答案。

输入格式：两行，第一行包含一个整数 n，表示测试题中给出的正整数个数。

第二行有 n 个正整数，每两个正整数之间用一个空格隔开，表示测试题中给出的正整数

输出格式：共一行，包含一个整数，表示测验题答案

输入 1 2 3 4

输出 2

枚举实现方案

#include <iostream>
#include <unordered_set>
using namespace std;

int main() {
    int n, cnt = 0;
    cin >> n;
    int nums[n];
    unordered_set<int> sums;

    for(int i=0; i<n; i++) cin >> nums[i];

    // 枚举所有两数之和
    for(int i=0; i<n; i++) {
        for(int j=i+1; j<n; j++) {
            sums.insert(nums[i] + nums[j]);
        }
    }

    // 统计符合条件的数
    for(int num : nums) {
        if(sums.count(num)) cnt++;
    }

    cout << cnt;
    return 0;
}

复杂度对比

方法	时间复杂度	空间复杂度	特点
暴力枚举	O(n^3)	O(1)	直观但效率最低
集合优化（推荐）	O(n^2)	O(n^2)	空间换时间最优解

五、枚举算法优化策略

1. 范围缩小：根据问题特性减少循环次数

   // 福尔摩斯案例中E必须满足ABCDE×x的末位是A
   if((E * x) % 10 != A) continue;

2. 预计算存储：珠心算案例中使用集合存储中间结果

3. 并行计算：OpenMP加速多层循环

   #pragma omp parallel for collapse(2)
   for(int A=1; A<10; A++) {
       for(int B=0; B<10; B++) { /* ... */ }
   }

4. 位运算优化：使用位掩码检查重复

   int mask = (1<<A)|(1<<B)|(1<<C)|(1<<D)|(1<<E)|(1<<x);
   if(__builtin_popcount(mask) == 6) { /* 无重复 */ }

六、枚举算法应用场景

场景	特点	典型案例
密码破解	有限字符组合	福尔摩斯密码、数独
数学问题	明确数值范围	水仙花数、完美数
组合优化	需要遍历排列组合	旅行商问题（小规模）
游戏AI	状态空间有限	井字棋、五子棋预判

掌握枚举算法的关键在于：在保证正确性的前提下，通过问题分析找到优化切入点，在可接受的时间复杂度内解决问题。对于大型项目，建议结合回溯、剪枝等高级技巧进行优化。